Ecuación de onda - el desplazamiento inicial es una función de caja

Question

Resolver la ecuación $u_{tt} = u_{xx}$ donde el desplazamiento inicial es $u(0,x) = 1$ para $1<x<2$ y 0 en caso contrario. También la velocidad inicial es 0.

No sé muy bien cómo hacerlo. Conozco la fórmula de d'Alembert, que nos dice que $u(t,x) = \frac{f(x-t) + f(x+t)}{2}$ Así, la onda se separa en dos ondas que viajan a izquierda y derecha y que se superponen (¿creo?).

Sin embargo, no encuentro una fórmula explícita para $u(t,x)$

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizando la condición inicial en $t=0$ ,

$u(0,x)$ = $\theta(x-1)-\theta(x-2)$

y definiendo $b(x)=\theta(x-1)-\theta(x-2)$

donde $\theta(x)$ es la función escalón de Heaviside,

entonces $u(t,x)=b(x-t)/2+b(x+t)/2$

que son dos funciones "caja" que viajan a derecha e izquierda.