Comprender una derivación

Question

Estoy aprendiendo lógica formal a través del libro An Exposition of Symbolic Logic; en el capítulo 1, sección 10 se me pide que deduzca el siguiente argumento:

(PQ) S

S T

~T Q

T

No pude encontrar la solución, así que vi la respuesta que dice el libro:

1. Mostrar T

2. ~T ass id

3. Q 2 pr3 mp

4. Mostrar PQ

5. Q 3 r cd

6. S 4 pr1 mp

7. T 6 pr2 mp 2 id

Cuando vi la derivación en las líneas 4 a 5, me dije "¡esto no tiene sentido!". Así que pregunto: ¿está mal? Si es correcto, ¿podría explicarlo?

Answer 1

No quiero dedicar demasiado tiempo a descifrar el idiosincrático y oscuro sistema de abreviaturas de este libro. Pero deduzco que la idea es:

1. Ya hemos demostrado $Q$ en el paso 3.
2. Podemos hipotetizar $P$ en el paso 5 y, a continuación, afirmar que $P\to Q$ porque $Q$ ya se ha demostrado.

A veces se denomina regla de reiteración . (Supongo que por eso el autor eligió la notación r .) Simbólicamente, podemos escribirlo como $$A \to (B \to A)$$ Si ya sabemos $A$ podemos concluir que $B$ implica $A$ para cualquier $B$ . En su derivación, porque ya sabemos $Q$ podemos concluir $P\to Q$ .

Esto es contraintuitivo. Es uno de los paradojas de la implicación material . La confusión surge porque el significado lógico formal de $A\to B$ es tan diferente de la noción convencional de "si entonces ".

En lógica formal, $A\to B$ es una afirmación muy débil. No dice que $A$ causa $B$ o que $A$ et $B$ están relacionados de alguna manera. Todo lo que dice es que siempre que $A$ es cierto, $B$ también es cierto.

Pero si interpretamos $\to$ de esta manera, $A\to (B\to A)$ siempre es cierto. Lo que dice es que siempre que $A$ es cierto, $B\to A$ también es cierto. Y esto es correcto. Porque si $A$ es verdadera, siempre que $B$ es cierto, $A$ también es cierto.

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Quizá una forma más directa de demostrar el teorema sería: Supongamos que $\sim T$ . De la premisa 2 se concluye $\sim S$ por modus tollens. En $\sim S$ y la premisa 1, concluye $\sim(P \to Q)$ por modus tollens. $\sim (P\to Q)$ significa $P\land \sim Q$ por definición, por lo que extraer $\sim Q$ . De la premisa 3, concluye $Q$ por modus ponens, una contradicción, y la suposición original $\sim T$ es falso.

Pero no garantizo que todos estos pasos sean válidos en el desagradable sistema lógico de este autor. Mi consejo sería coger un texto secundario que explique cómo hacer demostraciones mediante tablas analíticas, y aprender lógica a partir de ahí. Una vez que lo entiendas, escribir las pruebas de una manera más natural, y luego traducirlas al extraño formalismo de tu libro, probablemente será más fácil que tratar de construir las pruebas directamente en el extraño formalismo.