Siguiendo el ejemplo de Teddy Baker, la función que debes buscar es 1 - φ donde φ es la función de protuberancia definida a continuación: (Sin embargo, preste atención a la "Edición 1" a continuación, como $K$ no tiene por qué ser un conjunto compacto).
Si K es un conjunto compacto arbitrario en n dimensiones y U es un conjunto abierto que contiene a K, existe una función de choque φ que es 1 en K y 0 fuera de U. Dado que U puede considerarse una vecindad muy pequeña de K, esto equivale a poder construir una función que es 1 en K y cae rápidamente a 0 fuera de K, sin dejar de ser suave.
( https://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function )
Aquí se describe la construcción de la función de protuberancia:
La construcción se realiza del siguiente modo. Se considera una vecindad compacta V de K contenida en U, por lo que K ⊂ Vo ⊂ V ⊂ U. La función característica ${\chi} _{V}$ de V será igual a 1 en V y 0 fuera de V, por lo que, en particular, será 1 en K y 0 fuera de U. Sin embargo, esta función no es suave. La idea clave es suavizar $\chi _{V}$ un poco, tomando la convolución de $\chi _{V}$ con un calmante. Este último no es más que una función bump con un soporte muy pequeño y cuya integral es 1. Un mollificador de este tipo puede obtenerse, por ejemplo, tomando la función bump $\phi$ de la sección anterior y realizando las escalas adecuadas.
La idea clave para la construcción es el uso de la convolución, y el hecho de que la convolución de una función discontinua y una función suave es una función suave.
Por ejemplo, en 1D $E = [-1,1]$ basta con elegir los conjuntos $V$ et $U$ tal que:
$E = [-1,1] \subset V = [-2,2] \subset U = (-3,3)$
Ahora dejemos que $\chi_V$ sea la función característica de V. Es decir: $$ \chi_V(x) = \begin{cases} 1 \quad \text{if $x \in V$} \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases} $$
Convolve $\chi_V$ con un mollificador f (una función de protuberancia sumétrica: https://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier ) con un soporte suficientemente pequeño. En este caso, cualquier molificador f con un tamaño de soporte menor o igual a 1 funcionará (ya que la distancia entre una frontera de V a la de E y U es 1). Un ejemplo de tal molificador es: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{C} e^{-\frac{1}{1-x^2}} \quad \text{if $-1 \leq x \leq 1$}\\ 0 \quad \text{otherwise,} \end{cases} $$ donde $C$ es una constante (de normalización) tal que la integral sobre $[-1,1]$ es igual a 1.
Desde $$ (\chi_V \star f)(x) = \begin{cases} 1 \quad &\text{if $x \in E$}\\ \text{a value between $0$ and $1$} \quad &\text{if $x$ is in $V$ but not in $E$ or $U$,} \\ 0 \quad&\text{if $x$ is in $U$ but not in $V$,} \end{cases} $$
la siguiente función $g$ es la respuesta a su pregunta (cumpliendo la condición de que sea igual a 0 dentro de E y siendo distinto de cero fuera de E):
$$ g = 1-\phi = 1 - \chi_V \star f. $$
Edición 1 (Añadiendo un ejemplo con conjuntos no limitados como respuesta al comentario del usuario Pedro): Curiosamente, la técnica de convolución mencionada puede extenderse directamente a conjuntos no limitados (aunque con ciertas condiciones sobre $E$ --que se mencionará más adelante). Como ejemplo, se puede secuestrar ligeramente el ejemplo anterior para tener un nuevo ejemplo con conjuntos no limitados. Por ejemplo, consideremos los siguientes conjuntos:
$E = (-\infty,1] \subset V = (-\infty,2] \subset U = (-\infty,3)$
Ahora, la respuesta a la pregunta original (encontrar una función suave que sea igual a 0 dentro de $E$ y no zeros fuera $E$ ) es la misma que antes: $g = 1 - \chi_V \star f$ .
Condiciones sobre $E$ para que el argumento siga funcionando: Creo que la condición $E$ está cerrado es suficiente (seguiré pensando un poco más).
