Bijección entre submódulos de $M$ que contienen $L$ y los submódulos de $M/L$ .

Question

Hice la siguiente pregunta aquí .

¿Por qué un submódulo $L$ de un módulo $M$ es maximal, entre los submódulos de $M$ distinto de $M$ si y sólo si el módulo cociente $M/L$ ¿es sencillo?

Mariano Suárez-Álvarez comentó lo siguiente.

Esto se debe a que existe una biyección entre los submódulos de $M$ que contienen $L$ y los submódulos de $M/L$ .

¿Cómo se establece esta biyección?

Answer 1

La biyección es bastante fácil, dejemos que $K$ sea un submódulo de $M/L$ et $L\subset N$ un submódulo de $M$ que contiene $L$ . Podemos ver fácilmente que $\pi(N)$ es un submódulo, donde $\pi$ es el homomorfismo del cociente. Por tanto, envía cualquier submódulo que contenga $L$ a un submódulo de $M/L$ . Para la inversa, $\pi^{-1}(K)$ . Sea $x',y'\in K$ se dan, vienen en alguna forma de $x+L$ et $y+L$ como es un submódulo tenemos que $x'+y'=x+L+y+L=x+y+L\in K$ y como tal tenemos $x+y\in\pi^{-1}(K)$ . Para la producción de módulos mostramos lo mismo y establecemos que $\pi^{-1}(K)$ es un submódulo, para ver que contiene $L$ observamos que $K$ debe contener el $0$ que es el conjunto $L$ para nosotros en el cociente.

A partir de ahí vemos que hay una biyección.