En el nivel más fundamental, se trata de una cuestión sobre lo que desea la palabra "subconjunto" para significar .
Podríamos, si quisiéramos, perfectamente decidir dar a la palabra "subconjunto" un significado diferente tal que no llamar al conjunto vacío subconjunto de cualquier cosa. (Habrá caos y confusión cuando intentemos comunicarnos con matemáticos que no hayan oído hablar de nuestra decisión o no estén de acuerdo con ella, pero eso es sólo un problema práctico).
Resulta, tras más de 100 años de experiencia en el uso de conjuntos para estructurar argumentos matemáticos, que es más útil tener un concepto de "subconjunto" que considere que el conjunto vacío es un subconjunto de lo que sea, que tener un concepto que no relacionar el conjunto vacío con cualquier cosa. No hay una sola razón ingeniosa por la que esto sea así, y a veces significa que tenemos que hablar explícitamente de "suponer ". $A$ es un no vacío subconjunto..." y así sucesivamente -- pero la opinión general de los matemáticos parece ser que habría más teoremas y argumentos, si el conjunto vacío estuviera vacío, no tendríamos más remedio. nunca un subconjunto.
En tenemos una buena idea intuitiva de lo que queremos que signifique "subconjunto", podemos proceder a formular esta definición en nuestra lógica formal. Aquí es una pequeña suerte que nuestra lógica favorecida permita verdades vacuas y por lo tanto la haga más sencillo para expresar el significado que queremos que el significado alternativo que no queremos -- pero eso es sólo un extra: si quisiéramos podríamos haber definido el otro concepto en su lugar.
(Hay un poco de circularidad aquí, a saber, que una de las razones por las que es más útil considerar el conjunto vacío un subconjunto de todo es que nuestra lógica y patrones de prueba habituales hacen que sea fácil de trabajar con ese concepto normalmente no tenemos que considerar la verdad vacua como un caso especial en las pruebas, ¡porque nuestra lógica lo maneja automáticamente! Sin embargo, para algunos casos distintos de "subconjunto" sí que queremos obtener algo distinto de lo que la lógica nos proporciona más fácilmente, por ejemplo cuando necesitamos exigir explícitamente que $0\ne 1$ en un "campo").
