Geometría de la subálgebra $\Bbbk[x^2-1]\leq \Bbbk[x]$ (intuición para elementos integrales)

Question

Dado un campo $\Bbbk$ consideremos la subálgebra $\Bbbk[x^2-1]\leq \Bbbk[x]$ . Se trata de una extensión integral de álgebras. Escriba $\mathfrak q= (x-1)\vartriangleleft \Bbbk[x]$ et $\mathfrak p=\Bbbk [x^2-1]\cap \mathfrak q\vartriangleleft \Bbbk[x^2-1]$ . La extensión $\Bbbk[x^2-1]_{\mathfrak p}\hookrightarrow \Bbbk[x]_\mathfrak{q}$ es no integral, porque $\frac 1{x+1}\in \Bbbk[x]_\mathfrak{q}$ no es integral.

Me gustaría entender la geometría que hay detrás de este ejemplo. Sé que ser integral es local en el objetivo, estable bajo cambio de base, y tiene las consecuencias fundamentales de ser universalmente cerrado y suryectivo con fibras finitas. También sé que ser integral se comporta bien con cerrado subesquemas (cocientes por ideales). De hecho, como las álgebras en cuestión son de tipo finito, "integral" es equivalente a "finito", así que no me importa pretender tratar con mapas de cobertura ramificados finitos suryectivos (aunque estaría bien que esto no fuera necesario para este problema).

Entonces, geométricamente, tenemos el mapa de cobertura ramificado suryectivo $\mathbb A^1_\Bbbk\twoheadrightarrow \mathbb A^1_\Bbbk$ con dos ramas. De alguna manera la imagen no es tan bonita cuando hacemos zoom en el el más pequeño barrio abierto de $\mathfrak q\in \mathbb A^1_\Bbbk$ arriba y el vecindario abierto más pequeño de su imagen $\mathfrak p\in \mathbb A^1_\Bbbk$ abajo. Ahora la intuición me engaña: la razón por la que la restricción de los mapas de cobertura a subconjuntos abiertos del dominio no suelen ser mapas de cobertura es que se pueden "cortar" fibras arriba. Por otro lado, yo pensaría que localizar a un barrio abierto suficientemente pequeño de $\mathfrak q\in \mathbb A^1_\Bbbk$ en particular se localizaría en una sola rama, y entonces el mapa sería básicamente un isomorfismo. Por supuesto, esto no puede ser cierto, ya que he demostrado $\Bbbk[x^2-1]_{\mathfrak p}\hookrightarrow \Bbbk[x]_\mathfrak{q}$ ni siquiera es integral, por no hablar de un isomorfismo.

Pregunta 1. ¿Cuál es el problema con mi intuición anterior?

Tratando de pensar más concretamente, tomando $\Bbbk=\mathbb R$ es engañosa, ya que $x\mapsto x^2-1$ no "parece" suryectiva, así que intenté buscar en $\Bbbk=\mathbb C$ . Creo que entiendo de la topología de la función compleja $z\mapsto z^2-1$ mapa, pero desde luego no sé cómo pensar topológicamente en los tallos/barrios más pequeños.

Pregunta 2. Qué topológico ¿falla la propiedad de los "mapas de cobertura ramificados" tras la localización?

Por fin:

Pregunta 3. Cuál es el significado geométrico del elemento concreto $\frac 1{x+1}$ ¿no ser integral?

Answer 1

Bueno, parece que has olvidado cómo funciona la topología Zariski. Imagina que tenemos el mapa de cobertura ramificado $z\mapsto z^2$ en $\mathbb{C}$ (Me parece más fácil de pensar si se traduce por lo que es $z^2$ en lugar de $z^2-1$ después de todo, $\mathbb{k}[x^2-1]=\mathbb{k}[x^2]$ ). Esto debería ser una imagen muy familiar del análisis complejo: tienes el plano complejo, y estás doblando el argumento en cada punto para que gire alrededor del origen dos veces más rápido.

Ahora, quieres restringir esta cubierta ramificada a vecindarios abiertos del punto $1$ en el dominio, ¡pero estamos trabajando con la topología de Zariski, no con la topología euclidiana! Por tanto, una vecindad abierta no es más que un subconjunto cofinito de $\mathbb{C}$ . Obviamente, si eliminamos finitamente muchos puntos, no vamos a obtener una sola rama de nuestra cubierta. No importa cuántos eliminar, todavía tendremos puntos que son arbitrariamente cerca del otro punto $-1$ que tiene la misma imagen que nuestro punto $1$ . Las localizaciones son un límite directo de considerar estos conjuntos abiertos de Zariski, por lo que no debería sorprender que no sean mejores.

En particular, ¿qué está pasando con $\frac{1}{x+1}$ ? Pues es exactamente lo que has adivinado: la restricción de un mapa de cobertura sobre el dominio puede dejar de ser un mapa de cobertura, porque cortamos una fibra. En concreto, podemos eliminar $-1$ de la fibra de arriba al considerar vecindarios de $1$ pero seguimos teniendo su imagen abajo, por lo que "falta" un punto arriba. Y no podemos eliminar toda la rama de ese punto que falta, ya que en la topología de Zariski sólo podemos eliminar finitamente muchos puntos a la vez.