ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.

Question

Sea $A \in Mat_{n \times n} ( \mathbb{R} )$ y $0 \neq v,w \in \mathbb{R}^n$ son linealmente independientes. Dado que $x(t) = e^{-t}v +te^{-t}w$ es una solución para la EDO $\dot{x}(t)=Ax(t)$ encontrar otra solución que sea independiente de $x$ .

Sospecho $we^{-t}$ ser la otra solución (espero estar en lo cierto), y supongo que la forma de demostrarlo es mediante esa $(A+I)we^{-t}=0$ de ahí $\dot{we^{-t}}=Awe^{-t}$ . Pero no sé cómo empezar.

Answer 1

Su función $x(t)=e^{-t}v+te^{-t}w$ satisface $$ \frac{dx}{dt}=Ax $$ Y $$ \frac{dx}{dt} = -e^{-t}v-te^{-t}w+e^{-t}w = -x+e^{-t}w \\ \frac{dx}{dt}+x=e^{-t}w \\ (A+I)x=e^{-t}w. $$ Por lo tanto, $y=e^{-t}w$ es una solución de $\frac{dy}{dt}=Ay$ porque $$ \frac{d}{dt}\{(A+I)x\}= (A+I)\frac{dx}{dt}=(A+I)Ax=A\{(A+I)x\}. $$ No es difícil comprobar que $y$ et $x$ son soluciones linealmente independientes.