Propiedades generales de los grupos libres por cíclicos

Question

Admito que esto es un muy pregunta amplia, pero estoy buscando propiedades generales de [libre finitamente generado]-por-[cíclico infinito] grupos. Más concretamente, ¿cuáles son algunas propiedades que los grupos $\{F_n\rtimes_\phi\mathbb{Z}\ |\ n\geq 2,\ \phi\in Aut(F_n)\}$ tienen en común?

Estas son algunas propiedades que no todos esos grupos tienen (aunque algunos sí):

1. No todos son hiperbólicos.
2. No todos son $\mathrm{CAT}(0)$ grupos.

Estas son algunas propiedades que los grupos do tienen en común:

1. Todas tienen un problema de conjugación resoluble.
2. Todas ellas satisfacen una desigualdad isoperimétrica cuadrática.

Además, para $n=2$ todos los grupos de la forma $F_2\rtimes_\phi\mathbb{Z}$ son fuertemente poli-libres. Sin embargo, esto no será cierto en los rangos superiores, ya que para $n\geq 3$ no todos los automorfismos de $F_n$ son geométricas.

Entiendo que la estructura de $F_n\rtimes_\phi\mathbb{Z}$ depende en gran medida de $\phi$ por lo que comprender plenamente todas las propiedades comunes probablemente se reduce a comprender plenamente $Aut(F_n)$ .

Answer 1

Bueno, puedes convertir cualquier teorema sobre estos grupos en una propiedad. Por ejemplo: $F_n \rtimes_\phi \mathbb{Z}$ satisface la propiedad ``hiperbólica si y sólo si ninguna $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ subgrupos''. Es el teorema de Brinkmann.

Answer 2

Feighn y Handel demostró que todos son coherentes en 'Mapping tori of free group automorphisms are coherent', Anuario de Matemáticas (2) 149 (1999), no. 3, 1061--1077.

Answer 3

Todas tienen dimensión cohomológica $2$ .

El límite superior se deduce fácilmente de la secuencia espectral de Serre, el límite inferior se deduce del hecho de que los grupos de dimensión cohomológica $1$ son grupos libres. Este último hecho puede demostrarse sin utilizar este gran teorema calculando $H^*(G,\mathbf ZG)$ : está concentrado en dimensión 2 y es un grupo abeliano libre ... en particular sus grupos son grupos de dualidad (pero raramente grupos de dualidad de Poincaré).

Editar : lo siento, he respondido demasiado rápido ... el grupo $H^2(G,\mathbf ZG)$ no necesita ser un grupo abeliano libre. Por tanto, sus grupos no tienen por qué ser grupos de dualidad.

Answer 4

1. Todos ellos son residualmente finitos.
2. Son no todo subgrupo separable/LERF.
3. Lo hacen no todos tienen un problema decidible de pertenencia a un submonoide.

La finitud residual es un resultado que puede encontrarse en el (acertadamente llamado) [G. Baumslag, "Finitely generated cyclic extensions of free groups are residually finite" (Bull. Amer. Math. Soc., 5, 87-94, 1971)].

Los hechos sobre el problema de pertenencia a submonoides y la separabilidad de subgrupos/LERF se deducen del siguiente ejemplo: el grupo libre por cíclico de un solo relator $$G = \langle a, t \mid [a, tat^{-1}] = 1 \rangle \cong \langle a, b, t \mid a^t = ab, b^t = b \rangle$$ engloba el grupo rectángulo de Artin $A(P_4)$ (véase este artículo), que se sabe que tiene un problema indecidible de pertenencia a submonoides. Se ha demostrado que $G$ no es separable por subgrupos/LERF en [R.G. Burns, A. Karrass y D. Solitar, Una nota sobre grupos con subgrupos separables finitamente generados Bull. Aust. Math. Soc. 36 (1987), 153-160].