Por qué upperbound $|x-a|$ por 1 en la prueba de continuidad?

Question

En la mayoría (¿todas?) de las pruebas de continuidad de polinomios ( $x^2, x^3$ etc.), por ejemplo en el libro de Max Rosenlicht ( http://www.math.pitt.edu/~frank/pittanal2121.pdf página 97), el truco habitual es llegar a la expresión $$ |x-a||x+a| $$ y, a continuación $|x-a|$ por 1, que luego se utiliza para limitar $|x+a|$ y obtener $\delta = \min \{1, \frac{\epsilon}{2a +1} \}$ .

Esto me desconcierta incluso después de numerosos intentos. Mis preguntas son:

1) ¿Por qué 1? ¿Qué cambiaría si eligiera un valor diferente?

2) ¿Para qué necesitamos esta otra frontera "más pequeña"?

Me doy cuenta de que la pregunta no es especialmente difícil, pero tras numerosos intentos sigo sin entenderla.

Answer 1

En general, el $\delta$ se da de tal manera que puede darnos condiciones suficientes para obtener $|f(x)-L|<\epsilon$ . En términos más generales, el método (o estrategia) es:

1) Para transformar una expresión como $|f(x)-L|$ en una expresión como $|x-a||g(x)|$ donde $|g(x)|\leq M$ para todos $x$ ,

2) A continuación, utilice la desigualdad $$|x-a||g(x)|\leq M|x-a|<\epsilon$$ (porque el caso de $M|x-a|<\epsilon$ es fácil).

Así, en su ejemplo, observe que su $\delta$ dado es tal que $\delta = min \{1, \dfrac{\epsilon}{2|a|+1} \}$ . Analicemos esto.

Tiene dos "parámetros", uno es 1, y otro es $\dfrac{\epsilon}{2|a|+1}$ . El primer parámetro 1 es necesario para acotar |g(x)| y el otro "parámetro" es necesario para obtener el $\epsilon$ .

Pongamos un ejemplo. (Es el clásico, pero te voy a explicar los trucos)

Supongamos que se le pide que demuestre que $$\lim_{x \to a}{x^2}=a^2$$

Entonces empezamos haciendo un análisis preliminar, es decir.

$|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|$ y observe que esto tiene la forma de $|x-a||g(x)|$ (con g(x) = x+a). Ahora queremos encontrar un M>0 tal que $|g(x)|=|x+a| \leq M$

Para ello, digamos que $|x-a|<1$ (Puede ser otro valor positivo, pero el valor positivo más fácil es casi siempre 1). Entonces vamos a construir nuestro g(x) a partir de aquí, es decir

$|x-a|<1$ implica que $-1<x-a<1$ entonces $-1+2a<x+a<1+2a$ Por lo tanto $|x+a|<1+2|a|$ (puede consultar los detalles). Y TENGA EN CUENTA que la M que buscamos es $|x+a|=|g(x)|\leq M=1+2|a|$ . Obsérvese también que a es fija, por lo que M es una constante fija.

Así que ya tenemos eso $$|x-a||x+a|=|x-a||g(x)| \leq |x-a| M = |x-a|(1+2|a|)$$ . (Obsérvese que nuestro elegido 1, acotemos g(x))

AHORA QUEREMOS QUE MENOS DE EPSILON.

Así que el plan es simple, debemos hacer $|x-a|<\dfrac{\epsilon}{1+2|a|}$ . A continuación, tenemos $$|x-a||x+a|=|x-a||g(x)| \leq |x-a| M = |x-a|(1+2|a|)<\dfrac{\epsilon}{1+2|a|}(1+2|a|)=\epsilon$$

Por eso nuestro $\delta$ debe ser $\delta = min \{1, \dfrac{\epsilon}{2|a|+1} \}$ . En $1$ limita nuestra $|g(x)|$ y el $\dfrac{\epsilon}{1+2|a|}$ hace posible la cancelación para obtener el $\epsilon$ . Se puede decir que el $\delta$ tiene suficientes condiciones (en este caso, sólo dos condiciones) para resolver el problema.

Ahora será la prueba:

PRUEBA: Sea $\epsilon >0$ . Tomemos $\delta = min\{1,\dfrac{\epsilon}{2|a|+1} \}$ .

Si $|x-a|<\delta$ entonces $|x-a|<1$ y $|x-a|<\dfrac{\epsilon}{2|a|+1}$ Por lo tanto $-1<x-a<1$ Así que $-1+2a<x+a<1+2a$ y podemos decir que $|x+a|<1 + 2|a|$ . (puede consultar los pequeños detalles)

Ahora, tenga en cuenta que $$|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|=|x+a||x-a|<(1+2|a|)\left(\dfrac{\epsilon}{1+2|a|}\right)= \epsilon$$

Espero que esto pueda ayudar.

Answer 2

1) Puede encuadernar $\delta$ por cualquier factor (la mayoría de las veces), no tiene por qué ser $1$ . Tomamos el número $1$ porque somos unos vagos y $1$ es agradable: $1 \cdot {\rm anything} = {\rm anything}$ . Sin embargo, hay que tener cuidado con funciones como $1/x$ . No es seguro atar $\delta$ por $1$ si $a = 1/2$ porque el intervalo $(-1/2,1/2)$ contiene $x = 0$ para la que la función no está definida. Es decir, el límite es demasiado débil. Para polinomios como $x^2$ Esto no ocurre.

2) Yo, particularmente, no conozco otra estrategia eficiente para probar la continuidad y los límites por $\epsilon$ y $\delta$ 's. La idea de continuidad es que la función no varía demasiado cerca del punto en cuestión, si la función es continua, si $x$ no se aleja demasiado de $a$ entonces $f(x)$ no se alejará demasiado de $f(a)$ . Formalización de este " $x$ no se aleja demasiado de $a$ " es exactamente poner un límite en $\delta$ (y por tanto en $|x-a|$ ).

He hecho dos ejemplos de pruebas por épsilons y deltas aquí como el libro que estás usando, y te invito a que los reescribas usando $2$ en lugar de $1$ por un momento, para sentirlo. Espero que mi respuesta te ayude, aunque sea un poco. Y buena pregunta, por cierto.