El número de puntos sobre la curva elíptica es p+1 dado....

Question

Supongamos que -1 no es un cuadrado en $\mathbb{Z_p}$ . Demuestre que el número de puntos de la curva elíptica $y^2=x^3+ax$ en $\mathbb{Z_p}$ es $p+1$ .

Pista: Utiliza el hecho de que $x^3+ax$ es una función impar.

Ni siquiera sé muy bien por dónde empezar. Por lo que entiendo de una curva como esta, es que si un punto $(x,y)$ existe en la curva, entonces un punto $(x,-y)$ también existe. Así que la curva se refleja en la línea $y=0$ . Puesto que esto está en $\mathbb{Z_p}$ no deberíamos encontrarnos con $y$ donde $y=-y$ excepto cuando $y-0$ . En mi opinión, debería haber un número impar de puntos, es decir, un número par (debido a la reflexión) más el punto en $(0,0)$ . Aunque llevo tanto tiempo dándole vueltas a esta cuestión, que ahora estoy mezclando las cosas e intentando hacer cosas tan básicas...

También he intentado trabajar con el hecho de que $\left(\frac{p-1}{p}\right)=-1$ pero no veo cómo encaja correctamente.

Answer 1

Si x no es igual a cero módulo $p$ podemos sustituir $x$ por $p-x$ en $$x^3 + ax = x(x^2+a).$$

Exactamente una de las dos expresiones diferentes es cuadrática. En un caso hay dos puntos de la curva con los dados $x$ ya que hay dos $y$ la raíz cuadrada de $\pm\sqrt{x(x^{2}+a)}$ . Sin el punto $(0,0)$ obtenemos $p-1$ puntos. Si añadimos $(0,0)$ y el punto en el infinito encontramos un total de $p + 1$ puntos.