Me basaré en las respuestas anteriores e intentaré demostrar la existencia de un radio de convergencia para la serie, ∑an(z−z0)n Supongamos dos puntos, z1 y z2 diferente de z0 tal que la serie converge en z1 y diverge en z2 . (Este es el caso más general, dependiendo del tipo de serie, ya sea de z1 y z2 puede no existir). Así, podemos definir dos conjuntos, A y B dado por: A:={|z−z0|:∑an(z−z0)nconverges} B:={|z−z0|:∑an(z−z0)ndiverges}
Ahora utilizando el teorema que los usuarios han mencionado antes, podemos concluir:
∑an(z−z0)n diverge en z para |z−z0|>|z2−z0| Así pues |z2−z0|≥r para todos r∈A y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, A siendo un conjunto superior acotado no vacío, debe tener un supremum, r1=sup(A) .
También, ∑an(z−z0)n converge en z para |z−z0|<|z1−z0| Así pues |z1−z0|≤r′ para todos r′∈B y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, B siendo un conjunto inferior acotado no vacío, debe tener n mínimo, r2=inf(B) .
Sólo nos queda demostrar que r1=r2 y habremos terminado.
Si es posible, dejamos que r1≠r2 usando la ley de la tricotomía, deberíamos tener..:
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r1>r2 Está claro que podemos elegir un u∈R tal que r1>u>r2 Eso sí que trae problemas. Deja que z∗∈C tal que |z∗−z0|=u . Esto indica que para la z anterior, la serie debe converger además de divergir. (Utilizando los hechos de que ∑an(z−z0)n diverge en z para |z−z0|>|z2−z0| y ∑an(z−z0)n converge en z para |z−z0|<|z1−z0| )
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r1<r2 Es evidente que existe un u∈R tal que u∈(r1,r2) y u∉A y u∉B lo que es imposible ya que para z tal que |z−z0|=u la serie ni diverge ni converge, lo que de nuevo es una contradicción.
Así llegamos a la inevitable conclusión de que r1=r2=r (digamos), y utilizando las propiedades de r, es obvio que:
∑an(z−z0)n converge para |z−z0|<r y diverge para |z−z0|>r