Prueba de que el radio de convergencia existe

Question

Si el radio de convergencia se define como $R$ tal que la serie de potencias en $x$ (centrado en $0$ ) converge para $|x|<R$ y diverge para $|x|>R$ Me gustaría una prueba de que este $R$ existe. Hasta donde yo sé, se reduce a la siguiente afirmación:

Si la serie de potencias $\sum a_n x^n$ converge en $x_0\in\mathbb C$ entonces converge (absolutamente) para cualquier $x\in\mathbb C$ tal que $|x|<|x_0|$ .

¿Es correcta esa afirmación? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo? Una de las respuestas en esta pregunta menciona algo sobre la comparación con una serie geométrica, pero no entiendo muy bien a qué se refiere el autor de la respuesta.

Answer 1

Sí, la afirmación es correcta. Para comprobarlo: puesto que $\sum a_n x_0^n$ converge de modo que la secuencia $(a_nx_0^n)$ está limitada digamos por $M$ (convergente a $0$ ) así que

$$x_0\ne0\qquad |a_n x^n|=|a_n x_0^n|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n$$ y para $0\le|x|<|x_0|$ la serie geométrica $\displaystyle \sum \left|\frac{x}{x_0}\right|^n$ es convergente.

Answer 2

Me basaré en las respuestas anteriores e intentaré demostrar la existencia de un radio de convergencia para la serie, $$\sum a_n(z-z_0)^{n}$$ Supongamos dos puntos, $ z_1$ y $z_2$ diferente de $z_0$ tal que la serie converge en $z_1$ y diverge en $z_2$ . (Este es el caso más general, dependiendo del tipo de serie, ya sea de $z_1$ y $z_2$ puede no existir). Así, podemos definir dos conjuntos, $A$ y $B$ dado por: $$ A := \{|z-z_0|: \sum a_n(z-z_0)^n\hspace{0.1 cm} converges\}$$ $$ B := \{|z-z_0|: \sum a_n(z-z_0)^n\hspace{0.1 cm} diverges\}$$

Ahora utilizando el teorema que los usuarios han mencionado antes, podemos concluir:

$ \sum a_n(z-z_0)^n$ diverge en z para $|z-z_0|>|z_2-z_0|$ Así pues $|z_2-z_0| \geq r$ para todos $r \in A$ y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, $A$ siendo un conjunto superior acotado no vacío, debe tener un supremum, $r_1=sup(A)$ .

También, $ \sum a_n(z-z_0)^n$ converge en z para $|z-z_0|<|z_1-z_0|$ Así pues $|z_1-z_0| \leq r'$ para todos $r' \in B$ y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, $B$ siendo un conjunto inferior acotado no vacío, debe tener n mínimo, $r_2=inf(B)$ .

Sólo nos queda demostrar que $r_1=r_2$ y habremos terminado.

Si es posible, dejamos que $r_1\neq r_2$ usando la ley de la tricotomía, deberíamos tener..:

1. $$r_1>r_2$$ Está claro que podemos elegir un $u\in \mathbb{R}$ tal que $r_1>u>r_2$ Eso sí que trae problemas. Deja que $z^{*}\in \mathbb{C}$ tal que $|z^{*}-z_0|=u$ . Esto indica que para la z anterior, la serie debe converger además de divergir. (Utilizando los hechos de que $ \sum a_n(z-z_0)^n$ diverge en z para $|z-z_0|>|z_2-z_0|$ y $ \sum a_n(z-z_0)^n$ converge en z para $|z-z_0|<|z_1-z_0|$ )

2. $$r_1<r_2$$ Es evidente que existe un $u \in \mathbb{R}$ tal que $u\in (r_1, r_2)$ y $u\notin A$ y $u\notin B$ lo que es imposible ya que para $z$ tal que $|z-z_0|=u$ la serie ni diverge ni converge, lo que de nuevo es una contradicción.

Así llegamos a la inevitable conclusión de que $r_1=r_2=r$ (digamos), y utilizando las propiedades de r, es obvio que:

$\sum a_n(z-z_0)^n$ converge para $|z-z_0|<r$ y diverge para $|z-z_0|>r$

Answer 3

Si $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ converge para algún $x \ne 0$ entonces el término general $a_{n}x^{n}$ tiende a $0$ como $n\rightarrow\infty$ . Toda secuencia convergente está acotada; por tanto, existe una constante $M$ tal que $|a_{n}x^{n}|\le M$ $\forall n \ge 0$ . Por lo tanto, si $|y|<|x|$ entonces $\frac{|y|}{|x|}=r < 1$ y la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}y^{n}$ converge absolutamente porque $$ \sum_{n=0}^{\infty}|a_{n}y^{n}|=\sum_{n=0}^{\infty}|a_{n}x^{n}|r^{n}\le M\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{M}{1-r} < \infty. $$ En otras palabras, si la serie de potencias converge (condicional o absolutamente) para algún $x \ne 0$ entonces la serie de potencias converge absolutamente para $|y| < |x|$ .