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Prueba de que el radio de convergencia existe

Si el radio de convergencia se define como RR tal que la serie de potencias en xx (centrado en 00 ) converge para |x|<R|x|<R y diverge para |x|>R|x|>R Me gustaría una prueba de que este RR existe. Hasta donde yo sé, se reduce a la siguiente afirmación:

Si la serie de potencias anxnanxn converge en x0C entonces converge (absolutamente) para cualquier xC tal que |x|<|x0| .

¿Es correcta esa afirmación? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo? Una de las respuestas en esta pregunta menciona algo sobre la comparación con una serie geométrica, pero no entiendo muy bien a qué se refiere el autor de la respuesta.

8voto

Sí, la afirmación es correcta. Para comprobarlo: puesto que anxn0 converge de modo que la secuencia (anxn0) está limitada digamos por M (convergente a 0 ) así que

x00|anxn|=|anxn0||xx0|nM|xx0|n y para 0|x|<|x0| la serie geométrica |xx0|n es convergente.

3voto

Me basaré en las respuestas anteriores e intentaré demostrar la existencia de un radio de convergencia para la serie, an(zz0)n Supongamos dos puntos, z1 y z2 diferente de z0 tal que la serie converge en z1 y diverge en z2 . (Este es el caso más general, dependiendo del tipo de serie, ya sea de z1 y z2 puede no existir). Así, podemos definir dos conjuntos, A y B dado por: A:={|zz0|:an(zz0)nconverges} B:={|zz0|:an(zz0)ndiverges}

Ahora utilizando el teorema que los usuarios han mencionado antes, podemos concluir:

an(zz0)n diverge en z para |zz0|>|z2z0| Así pues |z2z0|r para todos rA y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, A siendo un conjunto superior acotado no vacío, debe tener un supremum, r1=sup(A) .

También, an(zz0)n converge en z para |zz0|<|z1z0| Así pues |z1z0|r para todos rB y utilizando la propiedad de completitud de los números reales, B siendo un conjunto inferior acotado no vacío, debe tener n mínimo, r2=inf(B) .

Sólo nos queda demostrar que r1=r2 y habremos terminado.

Si es posible, dejamos que r1r2 usando la ley de la tricotomía, deberíamos tener..:

  1. r1>r2 Está claro que podemos elegir un uR tal que r1>u>r2 Eso sí que trae problemas. Deja que zC tal que |zz0|=u . Esto indica que para la z anterior, la serie debe converger además de divergir. (Utilizando los hechos de que an(zz0)n diverge en z para |zz0|>|z2z0| y an(zz0)n converge en z para |zz0|<|z1z0| )

  2. r1<r2 Es evidente que existe un uR tal que u(r1,r2) y uA y uB lo que es imposible ya que para z tal que |zz0|=u la serie ni diverge ni converge, lo que de nuevo es una contradicción.

Así llegamos a la inevitable conclusión de que r1=r2=r (digamos), y utilizando las propiedades de r, es obvio que:

an(zz0)n converge para |zz0|<r y diverge para |zz0|>r

0voto

TrialAndError Puntos 25444

Si n=0anxn converge para algún x0 entonces el término general anxn tiende a 0 como n . Toda secuencia convergente está acotada; por tanto, existe una constante M tal que |anxn|M n0 . Por lo tanto, si |y|<|x| entonces |y||x|=r<1 y la serie de potencias n=0anyn converge absolutamente porque n=0|anyn|=n=0|anxn|rnMn=0rn=M1r<. En otras palabras, si la serie de potencias converge (condicional o absolutamente) para algún x0 entonces la serie de potencias converge absolutamente para |y|<|x| .

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