Una pregunta sobre la medida de Plancherel para $p$ -grupo radical

Question

Sea $G$ sea un grupo reductor sobre a $p$ -campo ácido. Tengo entendido que la medida de Plancherel en $G$ es una medida sobre el dual unitario $\hat{G}$ .

Pero al mismo tiempo, por ejemplo, en su famoso artículo de los Annals de 1990, Shahidi define una medida de Plancherel utilizando representaciones inducidas y operadores de entrelazamiento.

¿Están relacionadas estas dos nociones de medida de Plancherel? ¿O son una mera coincidencia terminológica?

Answer 1

Están relacionados, pero no son lo mismo. La medida de Pleancherel es estrictamente una medida sobre $\hat{G}$ . Si se parametriza $\hat{G}$ digamos por una integral sobre la recta real, entonces se podría conseguir que la medida de Plancherel viniera dada por funciones de densidad. En otras palabras, existe alguna función $\mu$ tal que la medida de Plancherel de un conjunto $A \subset \hat{G}$ es $$\int_{A}\mu(x)dx,$$ donde $dx$ es la medida de Lebesgue. Ahora bien, para grupos reductores conexos sobre un campo local Harish-Chandra demostró que esta función de densidad proviene de entrelazar operadores de inducida templado representaciones después de tensar por algún carácter no ramificado. Estos caracteres no ramificados pueden ser parametrizados por los números reales, y de esta forma se obtendrá un subconjunto de $\hat{G}$ . Shahidi va más allá y define la "medida de Plancherel" no sólo para las representaciones atemperadas, sino también para las unitarias, que están parametrizadas por varias copias de los números complejos. Las funciones de densidad de Shahidi son de $\mathbb{C}^n$ en $\mathbb{C}$ y no necesariamente funciones de los reales a los reales positivos como la de Harish-Chandra.