La homología de la superficie de género $g$

Question

Esta es una tarea cuestión que me ha dado por alguien de la comunidad aquí y es una generalización de este. Me estaba preguntando si podría echar un vistazo y decirme si es correcto. Gracias por su ayuda!

Tarea: Calcular la homología de una superficie de género $g$, $\Sigma_g$.

Mis cálculos:

(i) La célula de descomposición:

• $1$ dos células de $e^2$ ($4g$- gon)
• $2g$ uno-células de $e^1_i$
• $1$ cero de la celda $e^0$

(ii) La fijación de mapa de $e^2$:

• $f_2 = a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$

  La fijación de mapa de $e^1$:

• $f_1 = e^0$

(iii) Los grupos de cadena:

• $C_0(\Sigma_g) = \mathbb{Z}$
• $C_1(\Sigma_g) = \mathbb{Z}^{2g}$
• $C_2(\Sigma_g) = \mathbb{Z}$
• $C_k(\Sigma_g) = 0$, $k>2$

(iv) El límite de homomorphisms:

$\dots \xrightarrow{d_3} C_2(\Sigma_g) \xrightarrow{d_2} C_1(\Sigma_g) \xrightarrow{d_1} C_0(\Sigma_g) \xrightarrow{d_0} 0$

• $d_0 = 0$
• $d_1 = 0$, debido a $f_1$ tiene el grado $0$
• $d_2(e^2) = 0$, debido a que cada el coeficiente de es $0$

(v) La homología de grupos:

• $H_0(\Sigma_g) = ker d_0 / im d_1 = \mathbb{Z} / 0 = \mathbb{Z}$
• $H_1(\Sigma_g) = ker d_1 / im d_2 = \mathbb{Z}^{2 g} / 0 = \mathbb{Z}^{2 g}$
• $H_2(\Sigma_g) = ker d_2 / im d_3 = \mathbb{Z} / 0 = \mathbb{Z}$

Answer 1

Usted puede obtener el género $g$de la superficie haciendo conectado suma de $g$ tori $T=S^1 \times S^1$, es decir,

$$S_g := T\,\#\,T\,\#\,\cdots\,\#\,T \qquad (g\text{ times}).$$

Suponiendo que está trabajando sobre $ \mathbb{Z}$.

Si conoce la homología de $T$, y de cómo a encontrar que de la conexión de suma, de hecho.

Si no, o si usted prefiere un enfoque diferente, usted puede: i) Encontrar la homología de $S^1$, luego ii) Encontrar la homología del producto $S^1\times S^1$, y iii) Encontrar la homología de la conexión de la suma de $g$ copias en ii):

1. $H_1(S^1) = \mathbb{Z}$

2. Cómo encontrar la homología de un espacio del producto, (por ejemplo, Künneth de la fórmula) es $\mathbb{Z}^2$

3. Encontrar la homología de conectado sumas de dinero; es la suma directa de los respectivos homologías; la base de las curvas son pares distintos, por lo que la homología es la suma directa (lo que ocurre en un Toro, se queda en que el Toro) En última instancia usted obtiene: $$H_1(S_g)=\mathbb{Z}^{2g}$$ está hecho.