Tengo muchos sistemas de ecuaciones lineales que resolver a mano como éste: $ x_1 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5})$
$ x_2 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{6})$
$ x_3 = 1+\frac{1}{4}(x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{7})$
$ x_4 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{3}+x_{4})$
$ x_5 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{5}+x_{6})$
$ x_6 = 1+\frac{1}{4}(x_{2}+x_{5}+x_{6}+x_{7})$
$ x_7 = 1+\frac{1}{4}(x_{3}+x_{6}+x_{7})$
¿Cuál es la forma más rápida de resolverlo? ¿Por sustitución? ¿Por adición? He intentado resolverlo por sustitución pero es un método muy lento. Muchas gracias.
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mathlove
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No sé si la siguiente forma (usando la suma) es la más rápida, pero creo que no está mal. Desde $x_1=x_3=x_6,x_4=x_5=x_7$ podría haber una forma mejor.
$ x_1 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5})\quad\tag1$
$ x_2 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{6})\quad\tag2$
$ x_3 = 1+\frac{1}{4}(x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{7})\quad\tag3$
$ x_4 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{3}+x_{4})\quad\tag4$
$ x_5 = 1+\frac{1}{4}(x_{1}+x_{5}+x_{6})\quad\tag5$
$ x_6 = 1+\frac{1}{4}(x_{2}+x_{5}+x_{6}+x_{7})\quad\tag6$
$ x_7 = 1+\frac{1}{4}(x_{3}+x_{6}+x_{7})\quad\tag7$
En $(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)+(7)$ , $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=7+\frac 14(4x_1+4x_2+4x_3+4x_6+3x_4+3x_5+3x_7),$$ es decir $$x_4+x_5+x_7=28\tag 8$$
En $(4)+(5)+(7)$ y $(8)$ , $$x_4+x_5+x_7=3+\frac{1}{4}(2x_1+2x_3+2x_6+x_4+x_5+x_7),$$ es decir $$x_1+x_3+x_6=36\tag9$$
En $(2)(9)$ , $$3x_2=4+x_1+x_3+x_6\Rightarrow \color{red}{x_2=\frac{40}{3}}.$$
En $(1)+(2),(8),(9)$ , $$x_1+x_2=2+\frac 14(2x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)\Rightarrow 9x_1+3x_7=136\tag{10}$$
En $(4)+(5),(8),(9)$ , $$x_4+x_5=2+\frac 14(2x_1+x_3+x_4+x_5+x_6)\Rightarrow x_1+3x_7=40\tag{11}$$
En $(10),(11)$ , $\color{red}{x_1=12},\color{red}{x_7=\frac{28}{3}}$ .
En $(3),(4)$ , $\color{red}{x_3=12},\color{red}{x_4=\frac{28}{3}}$ .
En $(8),(9)$ , $\color{red}{x_5=\frac{28}{3}},\color{red}{x_6=12}$ .
