¿Cómo pasar de la matriz a la constante?

Question

A es una matriz simétrica tal que $Av=\lambda v$ .

No estoy seguro de cómo pasar de la primera parte resaltada a la segunda. La primera es una matriz mientras que la segunda es un número. Al principio pensé que A se sustituía por $\lambda$ pero no creo que esto sea posible porque significaría que estamos sustituyendo una matriz por una constante.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizamos la propiedad de que $v_\alpha$ es un vector propio.

$$\begin{align} \left( A - \frac{\gamma}{\beta}I \right) \langle d \rangle &=\left( A - \frac{\gamma}{\beta}I \right)\sum_{\alpha=1}^N v_\alpha c_\alpha (t)\\ &=\sum_{\alpha=1}^N\left( Av_\alpha - \frac{\gamma}{\beta}v_\alpha \right) c_\alpha (t)\\ &=\sum_{\alpha=1}^N\left( \lambda_\alpha v_\alpha - \frac{\gamma}{\beta}v_\alpha \right) c_\alpha (t)\\ &=\sum_{\alpha=1}^N\left( \lambda_\alpha - \frac{\gamma}{\beta} \right)v_\alpha c_\alpha (t)\\ \end{align}$$