¿Cómo hace uno para probar que el anillo de enteros con valores de polinomios $\text{Int}(\mathbb{Z})$ no es Noetherian?

Question

¿Cómo hace uno para probar que el anillo de enteros con valores de polinomios $\text{Int}(\mathbb{Z})$ no es Noetherian?

Dejo $(1, f_1, ..., f_n,...)$ $\mathbb{Z}$- base de $\text{Int}(\mathbb{Z})$, el anillo de racionales de polinomios envío de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z},$donde $f_1$, $f_2$, etc son los polinomios $X$, $X(X-1)/2$, etc. A continuación, una infinita ascendente de la cadena de ideales es $(f_1) \subset (f_1, f_2) \subset \cdots \subset (f_1, f_2, ..., f_n) \subset \cdots$. ¿Cómo podría usted demostrar que $f_{n+1} \not \in (f_1, ..., f_n)$?

Es encontrar una infinita cadena ascendente de ideales en general un buen método de mostrar que un anillo no es Noetherian?

Answer 1

Así que usted sabe que $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ es un sub-anillo de $\mathbb{Q}[T]$ $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ gratis abelian grupo con un $\mathbb{Z}$base $\binom{T}{i},i=0,1,\ldots$.

Vamos a demostrar que $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ no es Noetherian. Escribir $f_{k}=\binom{T}{k}$$k=0,1,\ldots$,$\operatorname{Int}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[f_1,f_2,\ldots]$.

Yo no demostró que $f_{n+1}\notin (f_1,\ldots,f_n)$. En lugar de eso, os voy a enseñar $f_p\notin (f_1,\ldots,f_{p-1})$ para cualquier número primo. Si no, $f_{p}=f_1g_1+\cdots+f_{p-1}g_{p-1}$ para algunos polinomios $g_i\in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})$. Deje $a_i=g_i(0)\in \mathbb{Z}$$i=1,\ldots,p-1$. Tenemos $f_p-a_1f_1-a_2f_2-\ldots-a_{p-1}f_{p-1}=T^2g$ algunos $g\in\mathbb{Q}[T]$. Pero el polinomio en el lado izquierdo de la ecuación no tiene múltiples raíces en cero. Aquí es por qué: es igual a $Th(T)$$h(T)\in \mathbb{Q}[T]$. Si $h(0)=0$, $\frac{(p-1)!}{p}\in \mathbb{Z}$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

Como en wxu la respuesta que yo también muestran que $f_p$ no $(f_1, ... f_{p-1})$ $p$ prime, pero el argumento es más corto: el líder de los coeficientes de un polinomio en $(f_1, ... f_{p-1})$ no puede tener denominador divisible por $p$.

Para general $n$ del mismo modo se puede demostrar que el coeficiente de un polinomio en $(f_1, ... f_{n-1})$ no puede tener denominador $n!$ (pero debe tener denominador estrictamente dividiendo $n!$).