Cómo mostrar $ C\le\max\{4(n-1)(||-b||_\infty+||a||_\infty), \sqrt 8 ||a||_\infty\} $

Question

$\Omega$ es un subconjunto compacto, $n\ge 2$ es un número entero, $a,b \in C^\infty(\Omega)$ C es una constante positiva. Si $$ \frac{C^2}{2(n-1)}+(a+b)C\le \frac{a^2}{n-1} $$ Cómo mostrar $$ C\le\max\{4(n-1)(||-b||_\infty+||a||_\infty), \sqrt 8 ||a||_\infty\} $$

\~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ Picture below is the origin of this question, I can't get the last inequation.

Answer 1

En primer lugar, para cualquier $a\le b+c$ tenemos $a\le \max\{2b, 2c\}$ . Así, para 1.12, tenemos $$ f^2(x_0)\le 2(n-1) \max\{2(-F_u-(n-1)K-\frac{F(u)}{\mu\sup u -u})f(x_0)~,~ \frac{2}{n-1}(\frac{F(u)}{\mu\sup u -u})^2\} $$ Entonces, la última ecuación es fácil de obtener, y $\sqrt 8 $ puede sustituirse por $2$ .