¿Son todas las representaciones fieles e irreducibles sobre $\mathbb{C}^n$ de un grupo finito dado?

Question

Supongamos que tengo un grupo finito $G$ de orden $r$ y dos representaciones irreducibles de dimensión finita $D^{(1)}$ et $D^{(2)}$ ambos sobre $\mathbb{C}^n$ . Si estas dos representaciones son fieles, entonces ¿es cierto que existe un mapa equivariante (o mapa de entrelazamiento) $S\in GL(\mathbb{C}^n)$ entre las dos representaciones?

$$S\circ D^{(1)}(g) = D^{(2)}(g)\circ S$$

¿Cambia la respuesta si las dos representaciones son en cambio sobre $\mathbb{R}^n$ pero sigue permitiendo que el mapa $S$ ser complejo?

$$ D^{(1)}(g), D^{(2)}(g) : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$$

$$S:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$$

Answer 1

Esto no es cierto, por ejemplo los fieles $1$ -representaciones dimensionales del grupo cíclico de orden $p$ .

Pero falla a lo grande: deja $$m(G)=\max_{n\in \mathbb{N}} \{\text{number of inequivalent irreducible representations of $ G $ of degree $ n $}\}.$$ Existe una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que si $m(G)=n$ entonces $|G|\leq f(n)$ es decir, $|G|$ está acotada en términos de $m(G)$ .

En el caso especial de los grupos simétricos, todos ellos (no de grado $1$ ) son fieles y se definen sobre $\mathbb{Q}$ .

Como dos representaciones son equivalentes sobre $\mathbb{C}$ si y sólo si tienen el mismo carácter, el campo sobre el que se toma el cambio de matriz base (el entrelazador) es irrelevante.

Answer 2

Considere las representaciones $h_1$ , $h_2$ de $\mathbb{Z}/2$ definido en $\mathbb{C}^2$ por $h(1)(x,y)=(-x,y)$ et $h_2(1)(x,y)=(-x,-y)$ son fieles pero no equivalentes porque el fijo del segundo es $1$ -y el conjunto fijo de la primera es $\{0\}$ .

Considere la representación de $\mathbb{Z}/4$ definido por $h_1(1)(z)=-z$ et $h_2(1)(z)=e^{i{2\pi\over 4}}z$ .