Considere las siguientes series $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(3-(-1)^n)\cos((n-1)\pi)}{2n}.$$ Según las respuestas de mi libro de texto, se trata de una serie divergente. El problema es que no sé cómo demostrarlo. Le pregunté al profesor, que me dijo que lo escribiera así $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(3-(-1)^n)(-1)^{n+1}}{2n}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{3}{2n}+\frac{1}{2n},$$ y luego dividir la serie en una suma de dos: $$\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{3}{2n}} + \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{2n}}.$$ Ahora bien, la primera es convergente y la segunda divergente, por lo que la serie en cuestión también es divergente. Pero no creo que esto sea correcto. ¿No es este el caso que $\sum{a_n+b_n} = \sum{a_n}+\sum{b_n} \iff \sum{a_n}$ converge y $\sum{b_n}$ converge? ¿Es válido el argumento presentado y, si no lo es, cómo puedo demostrar la divergencia de esta serie?
Respuesta
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Pierre Lebeaupin
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La prueba es básicamente correcta. El lema estrictamente correcto es la regla de la suma:
(Regla de la suma) Si $A=\sum a_n$ et $B=\sum b_n$ convergen, entonces también lo hace $C=\sum(a_n+b_n)$ y la respuesta es $C=A+B$ .
Supongamos que la suma en cuestión converge, llamémosla $A=\sum a_n$ . Entonces como $B=- \sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{3}{2n}} =\sum b_n$ converge, la regla de la suma da que la suma de términos $a_n+b_n$ converge. Pero éste es el múltiplo anterior de la serie armónica; hemos llegado a una contradicción, por lo que nuestra suposición de que $A$ convergía era falsa.
