Vamos $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{\infty}$ ser finito de conjuntos de cardinalidad en la mayoría de las $n$. Si por cualquier finito $F$, $i,j \in \mathbb{N}$ tal que $F \cap X_i \cap Y_j = \emptyset$, demostrar que no se $k,l \in \mathbb{N}$ tal que $X_k \cap Y_l = \emptyset$.
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Thorben
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Deje $\{X_i\}_{i\in\mathbb N},\{Y_i\}_{i\in\mathbb N}$ ser familias de conjuntos con $|X_i|\leq n$ $|Y_i|\leq n$ para algún entero positivo $n$.
Si para todas las $F$ $|F|<\infty$ hay $i,j\in\mathbb N$ tal que $F\bigcap X_i\bigcap Y_j=\emptyset$ existe $X\in\{X_i\}_{i\in\mathbb N}$ $Y\in\{Y_i\}_{i\in\mathbb N}$ tal que $X\bigcap Y=\emptyset$.
Prueba:
Elija algunas de $X_1\in\{X_i\}_{i\in\mathbb N}$.
Entonces existe $k,l\in\mathbb N$ de manera tal que,
$$X_1\bigcap X_k\bigcap Y_l=\emptyset$$ Ya podemos suponer que $X_1\bigcap Y_k\neq\emptyset$ $X_k\bigcap Y_l\neq\emptyset$ se sigue que $X_1\bigcap X_k=\emptyset$.
(Si $X_i\bigcap Y_k=\emptyset$$i\neq k$, nos gustaría hacer, así que la parte superior de la asunción es válida.)
Definir $X_2:=X_k$ $X_k$ anterior y considerar la posibilidad de $(X_1\bigcup X_2)$. Entonces a partir de la $(X_1\bigcup X_2)$ es finito existe de nuevo $l,j$ de manera tal que,
$$(X_1\bigcup X_2)\bigcap X_l\bigcap Y_j=\emptyset$$ Por la misma argumentación como anteriormente se deduce que $X_1\bigcap X_l=\emptyset$$X_2\bigcap X_l=\emptyset$.
De continuar con esta nos encontramos con $n+1$ distintos conjuntos yo.e $\{X_1,...X_{n+1}\}$ $X_i\bigcap X_j=\emptyset$ donde $i\neq j$.
Ahora a tomar un arbitrario $Y\in\{Y_i\}_{i\in\mathbb N}$ y desde $|Y|\leq n$ ello se desprende que no existe $X_i\in\{X_1,...X_{n+1}\}$ tal que $X_i\bigcap Y=\emptyset$.
QED
