Fórmulas que implican pares de coeficientes de expansión de $(1+x+x^2)^n$

Question

Si $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\cdots$ sea coeficiente en la expansión de $(1+x+x^2)^n$ en orden ascendente de $x$ Entonces demuestre que

$(1)\;a_{0}\cdot a_{1}-a_{1}\cdot a_{2}+a_{2}\cdot a_{3}-\cdots\cdots -a_{2n-1}\cdot a_{2n}=0$

$(2)\;a_{0}\cdot a_{2}-a_{1}\cdot a_{3}+a_{2}\cdot a_{4}-\cdots\cdots +a_{2n-2}a_{2n}=a_{n+1}$

Inténtalo: $(1+x+x^2)^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots \cdots +a_{2n}x^{2n}$

Ponga $\displaystyle x=\frac{1}{x}$ tenemos

Inténtalo: $(1+x+x^2)^n=a_{0}x^{2n}+a_{1x^{2n+1}}+a_{2}x^{2n+2}+\cdots \cdots +a_{2n}x^{4n}$

¿Podría alguien ayudarme a resolverlo? Gracias.

Answer 1

Sustituyendo $x$ por $\frac 1x$ en $$(1+x+x^2)^n=\sum_{j=0}^{2n}a_{j}x^j\tag3$$ obtenemos $$\left(1+\frac 1x+\frac{1}{x^2}\right)^n=\sum_{j=0}^{2n}a_{j}\left(\frac 1x\right)^j\tag4$$ Multiplicando ambos lados por $x^{2n}$ da $$(x^2+x+1)^n=\sum_{j=0}^{2n}a_{j}x^{2n-j}\tag5$$ Sustitución de $x$ por $-x$ en $(5)$ da $$(x^2-x+1)^n=\sum_{j=0}^{2n}a_{j}(-1)^{2n-j}x^{2n-j}\tag6$$

Multiplicar $(6)$ por $(3)$ obtenemos $$(1+x^2+x^4)^{n}=\left(a_0x^{2n}-a_1x^{2n-1}+a_2x^{2n-2}-\cdots +a_{2n}\right)\left(a_0+a_1x+\cdots +a_{2n}x^{2n}\right)\tag7$$

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$(1)$

Consideremos el coeficiente de $x^{2n+1}$ en $(7)$ .

El coeficiente de $x^{2n+1}$ en el LHS de $(7)$ es $0$ por lo que tenemos $$0=a_0a_1-a_1a_2+a_2a_3-\cdots -a_{2n-1}a_{2n}$$

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$(2)$

Consideremos el coeficiente de $x^{2n+2}$ en $(7)$ .

El coeficiente de $x^{2n+2}$ en el LHS de $(7)$ es igual al coeficiente de $x^{n+1}$ en $(1+x+x^2)^n$ es decir $a_{n+1}$ por lo que tenemos $$a_{n+1}=a_0a_2-a_1a_3+a_2a_4-\cdots +a_{2n-2}a_{2n}$$