Demostrar que $f(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ (fileld racional).

Question

$f(x)=\left(x-a_1\right)^2\left(x-a_2\right)^2\text{...}\left(x-a_n\right)^2+1$ donde $a_1,a_2,\text{...},a_n$ son números enteros diferentes.

Demostrar que $f(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ (fileld racional).

Un pensamiento:

$f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, y supongamos que $p$ es una raíz de $f(x)$ entonces $f(p)\geq 1$ no es posible hacer $f(p)=0$ Así que $f(x)$ es irreducible,

Creo que mi pensamiento es demasiado fácil, y es erróneo...

Answer 1

Por el lema de Gauss, basta con demostrar que $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ . Supongamos que $f(x)=p(x)q(x)$ para polinomios mónicos no constantes $p$ et $q$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ . Para cada $1\le i\le n$ evaluando en $x=a_i$ vemos que sólo hay dos casos:

Caso 1. $p(a_i)=1$ et $q(a_i)=1$ ,

Caso 2. $p(a_i)=-1$ et $q(a_i)=-1$ .

Supongamos $p(a_i)=1$ et $p(a_j)=-1$ para algunos $i\neq j$ . Entonces, por el teorema del valor intermedio, obtenemos que $p(b)=0$ para algunos $b$ entre $a_i$ et $a_j$ . Sin embargo, esto da $0=p(b)q(b)=f(b)\ge 1$ contradicción.

Por lo tanto, $p$ debe tener el valor 1 para todos los $a_i$ o debe tomar valor $-1$ para todos $a_i$ . Supongamos que estamos en Caso 1. Ahora, $p(x)-1$ tiene al menos $n$ raíces, a saber $a_1, a_2, ..., a_n$ . Igualmente para $q(x)-1$ . Comparando la suma de los grados de los términos de la ecuación $f(x)=p(x)q(x)$ obtenemos que de hecho $$p(x)-1=q(x)-1=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$$ En consecuencia, $$f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2 + 1 = p(x)q(x)$$ $$=[(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1][(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1]$$ $$=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2 + 2(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) + 1$$ Hemos demostrado que $(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$ es el polinomio idénticamente cero, contradicción. El mismo argumento se aplica también si estamos en Caso 2.

Aprendí la solución anterior de Libro de problemas de las Olimpiadas de la URSS de Shklarsky, Chentzov y Yaglom. Este libro es realmente una joya.