¿Cómo se resuelve $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2304\cos x}{(\cos 4x-8\cos 2x+15)^2} \,dx$

Question

\begin{equation} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2304\cos x}{(\cos 4x-8\cos 2x+15)^2} \,dx \end{equation}

Se trata de una pregunta MCQ y hay 5 opciones a elegir que son "A. $2\sqrt{3}\pi+9\ln 3$ , B. $2\sqrt{7}\pi+8\ln 3$ , C. $2\sqrt{3}\pi+8\ln 3$ , D. $2\sqrt{2}\pi+2\ln 3$ E. Otra solución".

¿Cómo se resuelve esta integral? Esto aparece en la prueba MCQ así que creo que debe haber un truco para resolver esto sin usar demasiada fuerza. El examen tiene 30 preguntas y 2 horas por lo que cada pregunta debe ser terminado bajo 4mn ( lo dudaba tho ). Aquí está mi solución que me paso alrededor de 3h para resolverlo. ( Perdón por no usar latex y perdón por las molestias ) Foto

Agradezco todas las soluciones y trucos. Gracias.

Answer 1

Aquí tienes algunos atajos. Con $t =\sin x$

\begin{equation} I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2304\cos x}{(\cos 4x-8\cos 2x+15)^2} \,dx=36\int_0^1 \frac {1}{(t^4+t^2+1)^2}dt\tag1 \end{equation} Nota $$\left(\frac{t-t^3}{t^4+t^2+1}\right)’ = \frac{t^6+5}{(t^4+t^2+1)^2}-\frac{4}{t^4+t^2+1} $$ Integrar ambos lados sobre $(0,\infty)$

\begin{align} \int_0^\infty \frac{4}{t^4+t^2+1}dt &= \int_0^\infty \overset{t\to 1/t} {\frac{t^6}{(t^4+t^2+1)^2} }dt + \int_0^\infty \frac{5}{(t^4+t^2+1)^2}dt\\ &= \int_0^1\frac{6}{(t^4+t^2+1)^2}dt +\int_1^\infty \frac{6}{(t^4+t^2+1)^2}dt\tag2 \end{align}

Del mismo modo, integrar sobre $(0,1)$

\begin{align} \int_0^1\frac{4}{t^4+t^2+1}dt=\int_0^1\frac{5}{(t^4+t^2+1)^2}dt +\int_1^\infty \frac{1}{(t^4+t^2+1)^2}dt \tag3 \end{align} Combinando (2) y (3) se obtiene \begin{align} \int_0^1\frac{dt}{(t^4+t^2+1)^2}= \int_0^1\frac{dt}{t^4+t^2+1} -\frac14 \int_0^\infty \frac{dt}{t^4+t^2+1}= \frac14\ln3+\frac{\pi}{6\sqrt3} \end{align} Enchufar en (1) $$I= 9\ln3+ 2\sqrt3{\pi}$$

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P.D. La última integral se realiza del siguiente modo

$$\int \frac{1}{t^4+t^2+1}dt= \frac12 \int\frac{1-t^2}{t^4+t^2+1}dt + \frac12 \int\frac{1+t^2}{t^4+t^2+1}dt \\ = \frac12 \int\frac{d(t+\frac1t)}{(t+\frac1t)^2-1} + \frac12 \int\frac{d(t-\frac1t)}{(t-\frac1t)^2+3} $$

Answer 2

Tou han hecho un buen trabajo y han obtenido el resultado correcto.

Intentando por mi parte, usando como tu hiciste $s=\sin(x)$ nedimos con $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2304\cos x}{(\cos 4x-8\cos 2x+15)^2} \,dx=36 \int_{0}^1 \frac{ds}{ \left(s^4+s^2+1\right)^2}$$

$$s^4+s^2+1=\left(s^2-s+1\right) \left(s^2+s+1\right)$$ Utilizar la descomposición parcial de fracciones $$\frac{1}{ \left(s^4+s^2+1\right)^2}=\frac{1-s}{2 \left(s^2-s+1\right)}+\frac{s+1}{2 \left(s^2+s+1\right)}-$$ $$\frac{s}{4 \left(s^2-s+1\right)^2}+\frac{s}{4 \left(s^2+s+1\right)^2}$$ La primera y la segunda no son difíciles $$I_1=\int\frac{1-s}{ s^2-s+1}\,ds=-\frac 12\Bigg[\int \frac{2s-1}{ s^2-s+1}ds -\int\frac{ds}{ s^2-s+1}\Bigg]$$ $$I_2=\int\frac{s+1}{s^2+s+1}ds=\frac 12\Bigg[\int \frac{2s+1}{ s^2+s+1}ds -\int\frac{ds}{ s^2+s+1}\Bigg]$$ Ahora, para la tercera y cuarta antiderivadas que se parecen a $$J=\int \frac s{(s^2+as+1)^2} ds=\int \frac s{(s-r_1)^2(s-r_2)^2} ds$$ descomposición parcial de la fracción de nuevo $$\frac s{(s-r_1)^2(s-r_2)^2}=\frac{r_1}{(r_2-r_1)^2 (s-r_1)^2}+\frac{r_1+r_2}{(r_2-r_1)^3 (s-r_1)}-$$ $$\frac{r_1+r_2}{(r_2-r_1)^3 (s-r_2)}+\frac{r_2}{(r_2-r_1)^2 (s-r_2)^2}$$

¡Esto es una pesadilla!

Al final, después de recombinar todo, la antiderivada es $$\frac{6 s\left(1-s^2\right)}{s^4+s^2+1}+4 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\frac{16 s \left(1-s^2\right)}{3 \sqrt{3}}\right)+9 \log \left(\frac{s^2+s+1}{s^2-s+1}\right)$$ y, para la integral definida, su buen resultado $$2 \sqrt{3} \pi +9 \log (3)$$

Todo este trabajo me llevó más de una hora. Estar seguro de que he estado buscando trucos pero ... nadie vino a mi mente.