Que es mayor: $n^{1.01} $ o $n\cdot log_{10}(n)$ ?

Question

¿Puede alguien explicarme cómo es posible que el lado derecho sea menor que el izquierdo? He introducido numerosos números en n y siempre obtengo que el lado izquierdo es menor que el derecho. Mi profesor está convencido de que el lado derecho es menor que el lado izquierdo. Tiene un doctorado en matemáticas, así que debería tener razón. Pero no entiendo su explicación.

$n^{1.01} < n\cdot log_{10}(n)$

$1000^{1.01} < 1000*log_{10}(1000)$

$1071.51 < 3000$

Answer 1

En la carrera entre una potencia (positiva) y un logaritmo, al final gana la potencia. Así que $n^{0.01} > \lg(n)$ para todas las $n$ y, por tanto $n^{1.01} > n \lg(n)$ para esos mismos $n$ . Pero ¿cuán grande es ¿"suficientemente grande"? En este caso, $n > 3.8125 \times 10^{237}$ aproximadamente.