¿Cuál es el mínimo valor de $a$ tal que $x^a \geq \ln(x)$ todos los $x > 0$?

Question

Esta es, probablemente, sólo la primaria, pero no sé cómo hacerlo. Me gustaría encontrar el valor mínimo de $a$ tal que $x^a \geq \ln(x)$ todos los $x > 0$. Numéricamente, he encontrado que este valor mínimo se encuentra entre 0.365 y 0,37 (es decir, $x^{0.37} > \ln(x)$ todos los $x > 0$, pero $x^{0.365}$ no lo está). Es allí cualquier manera analítica para saber exactamente este valor mínimo?

EDIT: Basado en las contestaciones recibidas, finalmente llegué con mi propio uno de la siguiente manera.

Considere la función $f(x) = x^a - \ln(x).$ Esta función es convexa en a $x$, y por lo tanto, logra el único mínimo de $x^*$ tal que $f'(x^*) = 0.$ Solución de la ecuación de los rendimientos de $$f_{\mathrm{min}} = \min\limits_{x>0} f(x) = \frac{\ln(a)+1}{a}.$$

Ahora, dejando $f_{min} = 0$, podemos obtener el valor deseado $a^* = 1/e.$

Gracias a todos por las respuestas!

Answer 1

$a = \max_{x>0} \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)} = 1/e$.

Answer 2

Considerar el mínimo de la función $f(x)=x^{1/e}-\ln(x)$.

EDIT: Como segundo paso, compruebe que$x^a < \ln(x)$$x=(1/a)^{1/a}$, para cualquier $0<a<1/e$.