Supongamos que $f$ es una función real definida en un intervalo de la forma $(a,\infty)$ . Si la secuencia correspondiente $\{f(n)\}_{n=k}^{\infty}$ converge a algún número real $L$ en qué condiciones $f$ me permitiría deducir que $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ ¿existen?
En general, esta afirmación es claramente falsa; un contraejemplo viene dado por $f(x)=\sin(\pi x)$ . Para todos los enteros positivos $n$ , $f(n)=0$ y así $\lim_{n\to\infty}f(n)=0$ pero $\lim_{x\to\infty}f(x)$ no existe. Dicho esto, tengo la fuerte sensación de que uno debería ser capaz de deducir la existencia de $\lim_{x\to\infty}f(x)$ durante al menos algunos funciones.
Pensando en algunas posibles condiciones para que esta afirmación sea cierta, me di cuenta de que todas las funciones en las que pensé eran diferenciables en un intervalo de la forma $(a,\infty)$ para algunos $a>0$ y que $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ para cada uno de ellos, lo que me lleva a especular que ésta podría ser una posible respuesta a mi problema. Sin embargo, no sé cómo demostrarlo y mucho menos por dónde empezar.
Contexto : Recientemente, me reté a mí mismo a demostrar todos los hechos más importantes sobre las funciones exponenciales utilizando sus definición axiomática (Caracterizaciones > 5 > en cualquier lugar-continuo). En este momento, estoy intentando demostrar que todas son diferenciables en $0$ (es decir $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ existe), de lo que puedo concluir que son diferenciables en todas partes. Utilizando un resultado que probé para un problema de libro de texto, y (esperemos) algunos resultados de este post, es (quizás) suficiente para mí mostrar que ambos $\lim_{n\to\infty}n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$ y $\lim_{n\to \infty}-n\left(a^{-\frac{1}{n}}-1\right)$ ambos existen.
Nota: Soy no buscando una manera de probar $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ existe, así que, a menos que quieras señalar un fallo en mi planteamiento, por favor, no incluyas pistas ni respuestas a este último problema en tus respuestas. Quiero resolverlo por mí mismo.
