Dos grupos cualesquiera de tres elementos son isomorfos - Fraleigh p. 47 4.25(b)

Question

La respuesta no tiene detalles. De ahí que quizá la respuesta deba ser rápida. ¿Pero no puedo verla?

De ahí que tomara dos grupos. Los llamé $G_1 = \{a, b, c\}, G_2 = \{d, e, f\}$ .
Entonces, como cada grupo tiene una identidad, sé $G_1, G_2$ tiene uno cada uno.
De ahí la elección de WLOG $c$ como la identidad en $G_1$ . Quiero emparejar letras así que elige $e$ como la identidad en $G_2$ . Ahora tenemos $G_1 = \{a, b, \color{magenta}{c}\}, G_2 = \{d, \color{magenta}{e}, f\}$ .

Sé que cada grupo tiene un inverso. Pero, ¿cómo puedo aplicar esto a $G_1, G_2$ para simplificarlos?

Y para demostrar $G_1, G_2$ son isomorfas, ¿cómo puedo prever y visualizar cuál es el isomorfismo?

Actualización del 25 de diciembre de 2013 (1). Respuesta de B.S. ¿Por qué $ab = b$ ¿Fracasar? $\begin{align} ab & = b \\ & = bc \end{align}$ . ¿Y ahora qué?

(2.) ¿Tengo que hacer todo el trabajo de álgebra para $G_1$ para $G_2$ ? ¿Hay alguna respuesta inteligente?

Actualización del 8 de enero de 2014 (1.) Me confunde el comentario de drhab del 30 de diciembre de 2013. ¿Está diciendo drhab: Aunque la identidad del dominio sea la $\color{green}{third}$ carta $\color{magenta}{c}$ pero la identidad del codominio es la segunda letra $\color{magenta}{e}$ , $d^{\huge{\color{green}{3}}} = e$ ¿De todos modos? De ahí que debiera haber elegido el $\color{green}{third}$ letra en el codominio como la identidad también?

¿Qué más dice drhab sobre esto?

(2.) No entiendo el comentario de drhab del 28 de diciembre de 2013. ¿Por qué se refiere a la conmutatividad? No es un axioma de grupo? Y ¿cuáles son las operaciones binarias?

Actualización: No me había dado cuenta antes, pero gracias al comentario de Martin Sleziak, esta pregunta no es más que un caso especial de Fraleigh p. 63 Teorema 6.10 = Pinter p. 109-111 Teorema 11.1.

Answer 1

Vamos a trabajar en $G_1$ y asumir $c=e_{G_1}$ . Así que $$ac=a, bc=b,cc=c$$ Pero ¿qué pasa con $ab$ . Puede ser $a$ , $b$ o $c$ . Si $ab=a=ac$ ya que $G_1$ es un grupo por lo que podemos cancelar $a$ tener $b=c$ lo cual es erróneo porque $b\neq c$ . La misma historia corta es cuando asumimos $ab=b$ por lo que sólo tenemos $ab=c$ . Esto significa que $$a=b^{-1}$$ y viceversa. Ahora bien $aa$ ? ¿Es igual a $a$ , $b$ o $c$ ? Tenemos $$aa=a\to a=c\\ aa=b\to aa=a^{-1}\to a^3=c\\ aa=c\to a=a^{-1}=b$$ La primera y la última son claramente erróneas, así que nos quedamos con $a^3=c$ . De ahí que nuestro grupo $G$ es cambiar a la siguiente forma: $$G_1=\{c,a,a^{-1}\}$$ en el que $a^3=c$ . Ahora haz lo mismo para $G_2$ . Nos da: $$G_2=\{e,d,d^{-1}\}$$ ¿Cuáles son las diferencias entre estos dos grupos? Sólo cambiar el alfabeto $a\to d$ ¿y viceversa? Por lo tanto, no hay diferencias entre ellos y en realidad son las mismas cosas.

Answer 2

$a$ sólo puede tener orden $3$ y lo mismo ocurre con $d$ . Entonces $\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,a^{2},a^{3}=c\right\} $ (así $a^{2}=b$ ) y $\left\{ d,e,f\right\} =\left\{ d,d^{2},d^{3}=e\right\} $ (así $d^{2}=f$ ) y la correspondencia $a\mapsto d$ , $(b=a^{2}) \mapsto (d^{2}=f)$ , $c\mapsto e$ es un isomorfismo.

Answer 3

Sea $p$ sea un primo y $G$ a grupos de orden $p$ . Si $a\in G$ no es el elemento neutro demuestre que el homomorfismo $\mathbb Z\to G$ dada por $1\mapsto a$ induce una isomorfía $\mathbb Z/p\mathbb Z\to G$ . Concluir que dos grupos cualesquiera de orden $p$ son isomorfas.

Answer 4

SUGERENCIA: Mira la(s) tabla(s) de Cayley. Juega al suduko.

(Hacerlo de esta manera no difiere de la prueba estándar de que existe un único grupo de orden dos, hasta el isomorfismo).

Answer 5

Obsérvese que cualquier grupo con $3$ está formado por un solo generador, la inversa de este generador y un elemento neutro (de lo contrario, no sería un grupo). Por lo tanto, debe existir una correspondencia unívoca entre dos grupos cualesquiera.