Me he encontrado muy a menudo con esta relación, $$\cos(x)\cos (2x)\cos(4x)\dots \cos(2^{n-1}x)= \frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin(x)}$$ pero ¿existe alguna fórmula explícita para la serie, $$\cos(x)\cos (3x)\cos(9x)\dots \cos(3^{n-1}x)$$ He intentado por todos los medios encontrar una relación, pero ha sido en vano. Si existe tal fórmula, me interesaría mucho saber cómo probarla, es decir, si me pueden dar una pista.
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Aunque no existe una fórmula directamente comparable, observando varias formas de la identidad que das podemos encontrar expresiones similares.
La derivación habitual pasa por la fórmula de duplicación para $\sin x$ a partir de $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ o, dicho de otro modo, $\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}=2\cos(x)$ podemos ver $\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(4x)}{\sin(2x)}\cdot\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}$ $= \left(2\cos(2x)\right)\cdot\left(2\cos(x)\right)$ , $\frac{\sin(8x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(8x)}{\sin(4x)}\cdot\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}$ etc.
Ahora resulta que $\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}$ también es un polinomio en $\cos(x)$ En concreto, si $P(t)=4t^2-1$ entonces $\frac{sin(3x)}{\sin(x)}=P(\cos(x))$ por lo que podemos continuar expandiéndonos de forma muy similar y obtener la ecuación: $$\frac{\sin(3^nx)}{\sin(x)}=\prod_{j=0}^{n-1}P\left(\cos(3^jx)\right)$$ De hecho, resulta que para todos $k$ tenemos $\sin(kx)=\sin(x)\cdot P_k(\cos(x))$ para algún polinomio $P_k$ ; en concreto, $P_k$ es el Polinomio de Chebyshev de segundo tipo $U_{k-1}(t)$ . Esto significa que podemos generalizar la fórmula anterior como: $$\frac{\sin(k^nx)}{\sin(x)}=\prod_{j=0}^{n-1}U_{k-1}\left(\cos(k^jx)\right)$$ .
Resulta que el polinomio $U_1(x)=2x$ por lo que el caso $k=2$ es exactamente la fórmula que has dado.
La fórmula también tiene otro aspecto: ¡expresa la unicidad de las expansiones binarias! Para verlo, dejemos que $z=e^{ix}$ y, para simplificar, escribiré $z'=e^{-ix}=z^{-1}$ . Entonces $\cos(x)=\frac12(z+z')$ $=z'\cdot\frac12(z^2+1)$ y $\sin(x)=\frac1{2i}(z-z')$ $=z'\cdot\frac1{2i}(z^2-1)$ . Ahora escribiré $w=z^2$ de nuevo por comodidad: podemos escribir $\sin(2^nx)=z'^{2^n}\cdot\frac1{2i}(w^{2^n}-1)$ Así que $\dfrac{\sin(2^nx)}{\sin(x)}=z'^{2^n-1}\dfrac{w^{2^n}-1}{w-1}$ . Ahora bien, el término en $w$ en el lado derecho es sólo la suma $\sum_{j=0}^{2^n-1}w^j=1+w+w^2+\ldots+w^{2^n-1}$ . Por otra parte, $2\cos(x)=z'(1+w)$ , $2\cos(2x)=z'^2(1+w^2)$ etc. Así que el producto $\prod_{j=0}^{n-1}2\cos(2^jx)$ es $\prod_{j=0}^{n-1}z'^{2^i}(1+w^{2^j})$ el producto del $z'^{2^j}$ términos es sólo $z'^{2^n-1}$ y lo que obtenemos es la identidad $$\prod_{j=0}^{n-1}\left(1+w^{2^j}\right)=\sum_{j=0}^{2^n-1}w^j=\frac{w^{2^n}-1}{w-1}$$ Ahora, el coeficiente de $w^k$ a la izquierda de esta identidad es el número de formas de escribir $k$ como suma de diferentes términos de la forma $2^i$ y esta identidad dice que esta suma es $1$ para cada $k$ En otras palabras, ¡las expansiones binarias son únicas!
Ahora podemos ir en la otra dirección e intentar hacer lo mismo con las expansiones ternarias: la versión de la función generadora de la afirmación "todo número tiene una única expansión ternaria" es la identidad $\prod_{j=0}^{n-1}(1+w^{3^j}+w^{2\cdot3^j})$ $=\sum_{j=0}^{3^n-1}w^j$ $=\dfrac{w^{3^n}-1}{w-1}$ . Podemos pensar que la parte derecha está relacionada con $\dfrac{\sin(3^nx)}{\sin(x)}$ e intenta escribir el lado izquierdo de forma similar. Como $1+w^{3^j}+w^{2\cdot 3^j} = w^{3^j}\cdot(w^{-(3^j)}+1+w^{3^j})$ estos términos deben ser expresables en la forma $a+b\cos(2\cdot3^jx)$ para algunos $a$ y $b$ . Me da un poco de pereza hacer el álgebra sobre esto ahora mismo, pero estoy 99% seguro de que si vas hasta el final encontrarás que es exactamente equivalente a la identidad en términos del producto de $P(\cos(3^jx))$ que derivé de la fórmula de triplicación anterior.
Esta formulación también sugiere por qué no hay una fórmula "bonita" para el producto que se busca: El ' $w$ -análogo" de $\prod_{j=0}^{n-1}\cos(3^jx)$ es $\prod_{j=0}^{n-1}(1+w^{3^j})$ expandiendo esto en un polinomio se obtiene $\sum_{j\in C_n}w^j$ donde $C_n$ es el "conjunto de Cantor" de los números cuya expansión ternaria tiene como máximo n cifras y sólo contiene ceros y unos. Es de esperar que no sorprenda demasiado que no haya otra forma "bonita" de escribir este conjunto que no sea esta caracterización.
psychotik
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Para cada $a > 1$ definamos $F_a$ por
$$ F_a(x) = \prod_{n=1}^{\infty} \cos(x/a^n). $$
Entonces podemos escribir
$$ \cos(x)\cos(ax)\cdots\cos(a^{n-1}x) = \frac{F_a(a^n x)}{F_a(x)}. $$
Así que la cuestión se reduce a identificar $F_a(x)$ . Desgraciadamente, hay pruebas contundentes de que $F_a(x)$ se reduce a una función elemental explícita sólo cuando $a = 2$ .
En efecto, obsérvese que $F_a(x)$ puede realizarse como la función característica
$$ F_a(x) = \mathbb{E}[e^{ix S_a}] = \int_{\mathbb{R}} e^{ixu} \, \mu_{S_a}(\mathrm{d}u) $$
de la variable aleatoria $S$ definido por
$$ S_a = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{a^n}, $$
donde $X_1, X_2, \dots$ son variables aleatorias de Rademacher independientes (es decir, cada $X_n$ toma cada uno de los valores $\pm 1$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ ) y $\mu_{S_a}$ denota la ley de $S_a$ .
En $a = 2$ , $\mu_{S_2}$ se hace absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue. Más concretamente, la ley de $S_2$ se convierte en una distribución uniforme sobre $[-1, 1]$ lo que da
$$ F_a(x) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} e^{ixu} \, \mathrm{d}u = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2ix} = \operatorname{sinc}(x). $$
Por otra parte, si $ a > 2 $ entonces $\mu_{S_a}$ es singular continua. (Está relacionada con los conjuntos tipo Cantor.) Como parece muy improbable que la transformada inversa de Fourier de una función elemental produzca una medida continua singular, creo que $F_{a}$ no es una función elemental en este caso.
En $1 < a < 2$ sospecho que $\mu_{S_a}$ es absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue, pero la función de densidad será fractal. Así que, por un razonamiento similar, creo que $F_{a}$ tampoco es una función elemental en este caso.
He añadido histogramas de probabilidad para simulaciones de $S_{3/2}$ , $S_{2}$ y $S_{3}$ para comparar:
