Demuestre que para cada número entero $m>3$ al menos uno de $m, m+2$ o $m+4$ es compuesto.
Tengo que hacerlo utilizando la división en dos casos. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo debo dividir los casos porque no estoy muy seguro.
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52
O bien $m$ es divisible por 3, o $m+1$ es divisible por 3, o $m+2$ es divisible por 3. (¿estás de acuerdo?)
Tenga en cuenta que $m+4=(m+1)+3$ . Así que en caso $m+1$ es divisible por 3, entonces también $m+4$ es divisible por 3.
Así que, en efecto, en todos los casos: o bien $m$ , $m+2$ o $m+4$ es divisible por 3 y, por tanto, compuesto.
(Edición: Empecé con los casos que $m$ es par y que $m$ es impar. Si $m$ es par, entonces es compuesto, pero este camino no era necesario al final).
Pista:
$$m+4 \equiv m+1 \pmod{3}$$
Editar después de OP resuelto el problema:
Si $m\equiv 0\pmod{3}$ , $m$ es divisible por $3$ y puesto que $m>3$ es compuesto.
Si $m\equiv 1 \pmod{3}$ , $m+2 \equiv 3\equiv 0 \pmod 3$ y puesto que $m+2>3$ es compuesto.
Si $m \equiv 2 \pmod{3}$ , $m+4 \equiv m +1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$ y puesto que $m+4>3$ es compuesto.
AmateurMathGuy
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38
Todos los números enteros $\mathbb{Z}$ pueden clasificarse como miembros de una de las siguientes clases:
$$C_0=3k$$ $$C_1=3k+1$$ $$C_2=3k+2$$ Tal que así $\ k\in \mathbb{Z}$ .
Sea $m=3k+i \quad \Big| \quad i=0 \lor 1 \lor 2$ entonces:
$$\begin{align} m &= 3k+i && \in C_i \\ m+2 &=3k+i+2 && \in C_{i+2 \pmod 3} \\ m+4 &=3k+i+4=3(k+1)+i+1 &&\in C_{i+1 \pmod 3} \end{align}$$
Así que para cualquier $m>3$ seguro que encuentra un compuesto de este conjunto de tres. Habrá uno que pertenezca al $C_0$ clase.
Farkhod Gaziev
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6
$$m(m+k)(m+2k)\equiv m(m^2-k^2)\pmod3$$
Si $3\mid m,3\mid m(m+k)(m+2k)$
si no $m\equiv\pm1\implies m^2\equiv1\pmod3$
Del mismo modo, si $3\nmid k,k\equiv\pm1\implies k^2\equiv1\pmod3$
$\implies3\mid m(m+k)(m+2k)$ si $3\nmid k\iff(k,3)=1$
Ahora bien $m>3,k\ge0;$ $$m(m+k)(m+2k)>3$$ y es divisible por $3$ por lo tanto compuesto si $3\nmid k\iff(k,3)=1$
