Comprendo el origen matemático de los valores propios complejos, y que los valores propios complejos vienen de dos en dos . Pero, ¿qué significa la parte imaginaria? En concreto me refiero a un problema acústico (ecuación de Helmholtz) acoplado a vibraciones de placas: los valores propios representan frecuencias, entonces ¿cuál es el significado físico de dos valores propios con el mismo valor real y valores imaginarios opuestos (conjugados)? ¿Qué significan los valores propios imaginarios puros?
Respuesta
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user196418
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Para profundizar en uno de los comentarios...
Un número complejo no tiene significado físico... hasta que se le da uno.
La razón por la que aparecen números complejos en la solución de la ecuación de ondas, la ecuación de Helmholtz y el oscilador armónico, es que continuamos el campo, la presión, o lo que sea, en el plano complejo para que la ecuación sea más fácil de resolver. Podrías evitar esto toda tu vida y asumir una superposición de funciones reales y resolver los coeficientes, etc, como se enseña en los textos básicos de Ecuación Diferencial elemental.
Utilizar un campo complejo para los problemas facilita un poco la resolución, pero hay que tomar la parte real de la respuesta.
Pero al final, cuando hay amortiguación en un sistema, los "valores propios complejos" tendrán una parte real y otra imaginaria. Si supones una solución de la forma p = p0*exp(i k x) etc, entonces la parte real de k describirá las oscilaciones mientras que la parte imaginaria de k describirá la amortiguación o atenuación en el campo. Si suponemos una solución de la forma p = p0*exp(k*x) el significado cambia. Como ves, no sólo la naturaleza "compleja" depende de cómo resuelvas la ecuación, sino que el "significado físico" depende de la representación.
