Cociente de funciones Gamma

Question

Estoy tratando de encontrar una manera inteligente de calcular el cociente de dos funciones gamma cuyas entradas difieren en algún número entero. En otras palabras, para algún valor real $x$ y un número entero $n < x$ Quiero encontrar una manera de calcular

$$ \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)} $$

Para $n=1$ el cociente es simplemente $(x-1)$ ya que por definición

$$ \Gamma(x) = (x - 1)\Gamma(x-1) $$

Para $n=2$ También es sencillo:

$$ \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-2)} = \frac{(x-1)\Gamma(x-1)}{\Gamma(x-2)} = (x-1)(x-2)$$

Si continuamos este patrón hasta un arbitrario $n$ obtenemos

$$ \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)} = \prod_i^n (x-i)$$

Evidentemente, me estoy tambaleando un poco. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar una manera eficiente de calcular este cociente además de calcular directamente las dos funciones gamma y dividir?

También me parece bien si se puede encontrar un cálculo eficiente en el espacio logarítmico. Actualmente estoy utilizando una aproximación simple de la función gamma log y tomando la diferencia. Esto fue necesario porque la función gamma se hace demasiado grande para almacenar en cualquier tipo de datos primitivos, incluso para smallish valores de $x$ .

Answer 1

Creo que quieres decir $$ \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)} = \prod_{i=1}^{n} (x - i) $$ Por supuesto, esto podría no ser muy agradable si $n$ es muy grande, en cuyo caso es posible que desee calcular primero el $\Gamma$ y dividir; pero entonces (a menos que $x$ está muy cerca de uno de los números enteros $i$ ) el resultado también será enorme. Si buscas una aproximación numérica en lugar de un valor exacto, puedes utilizar la aproximación de Stirling o sus variantes.

EDIT: Tenga en cuenta también que si su $x$ o $x-n$ puede ser negativo, la fórmula de la reflexión puede resultarle útil: $$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} $$

Para $x > n$ , $$ \eqalign{\ln\left(\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)}\right) &= n \ln x + \sum_{i=1}^n \ln(x-i)\cr &= n \ln x + \sum_{i=1}^n \left( - \frac{i}{x} - \frac{i^2}{2x^2} - \frac{i^3}{3x^3} - \frac{i^4}{4x^4} - \frac{i^5}{5x^5} - \frac{i^6}{6 x^6}\ldots \right)\cr &= n \ln x - \frac{n(n+1)}{2x} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{12 x^2} - \frac{n^2 (n+1)^2}{12 x^3} \cr & -{\frac {n \left( n+ 1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{2}+3\,n-1 \right) }{120 { x}^{4}}}-\frac { \left( n+1 \right) ^{2}{n}^{2} \left( 2\,{n}^{2}+2\,n-1 \right) }{60 {x}^{5}} \ldots} $$ Esto proporciona excelentes aproximaciones como $x \to \infty$ para fijo $n$ (o $n$ creciendo mucho más lentamente que $x$ ). Por otra parte, para $n = tx$ con $0 < t < 1$ fijo, como $x \to \infty$ tenemos

$$ \eqalign{\ln\left(\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)}\right) &=(1-t) x \ln(x) - (t \ln(t) - t + 1) x +\frac{\ln(t)}{2}\cr &+{ \frac {t-1}{12tx}}+{\frac {1-{t}^{3}}{360{t}^{3}{x}^{3}} }+{\frac {{t}^{5}-1}{1260{t}^{5}{x}^{5}}}+\frac{1-t^7}{1680 t^7 x^7} \ldots }$$

Answer 2

Puede escribir la expresión en términos de Símbolo del martillo pilón como

$$ (x-1)_n = \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-n)}. $$