Mi calc de variaciones aún está oxidado. Supongo que es necesario aplicar la fórmula de la revolución arclength, pero ¿cómo encontrar y(1/2a)?
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Podemos disminuir el problema para encontrar el área más grande en 2D porque dará el mayor volumen al girar la curva. El área a maximizar puede definirse como $$A[y]=\int_{x_1}^{x_2}y\ dx$$ sujeto a $$2a=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'\ ^2} dx$$ Podemos utilizar un multiplicador de Lagrange como $$H=y+\lambda \sqrt{1+y'\ ^2}$$ y $$\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial H}{\partial y'}\bigg)=0$$ $$1-\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\lambda y'}{\sqrt{1+y'\ ^2}}\bigg)=0$$ $$\Rightarrow \frac{x-\alpha}{\lambda}=\frac{y'}{\sqrt{1+y'\ ^2}}$$ Si $\bar x=\frac{x-\alpha}{\lambda}$ $$\bar x=\frac{y'}{\sqrt{1+y'\ ^2}}\Rightarrow y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\bar x}{\sqrt{1-\bar x^2}}$$ que puede resolverse para $y(x)$ tal que $$y(x)=-\sqrt{1-\bar x^2}+\beta=\beta-\sqrt{1-\bigg(\frac{x-\alpha}{\lambda}\bigg)^2}$$ La ecuación debe cumplir las condiciones de contorno $$(0,0)\Rightarrow 0=\beta-\sqrt{1-\bigg(\frac{-\alpha}{\lambda}\bigg)^2}$$ $$(a,0)\Rightarrow 0=\beta-\sqrt{1-\bigg(\frac{a-\alpha}{\lambda}\bigg)^2}$$ $$2a=\int_{0}^{a}\sqrt{1+y'\ ^2} dx\qquad y'=\frac{x-\alpha}{\lambda^2 \sqrt{1-\frac{\big(\alpha-x\big)^2}{\lambda^2}}}$$
