¿Cómo resolver la siguiente integral?

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral por partes, pero no hay respuestas hasta ahora. $$\int_{0}^{\infty}\left[\frac{x}{(1+ax)(1+x)}\right]^{K}dx,$$ donde $K\in\mathbb{N}$ y $a>0$ es una constante. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Si $a=1$ entonces la integral se convierte en $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^K}{(1+x)^{2K}}dx$$ Dejar $\displaystyle \frac{1}{1+x}=z$ obtenemos $$I=\int_{0}^{1}z^{K-2}(1-z)^K dz=\beta\left(K-1,K+1\right)$$

Anotaré los resultados para $a\ne 1$ en breve.

Answer 2

He aquí una fórmula en términos de polinomios de Legendre asociados

$$\frac{ 2\,{4}^{k-1}\Gamma\left( \frac{1}{2}+k \right)\beta \left( k+1,k-1 \right)}{ {a}^{3/4} \left( a-1 \right) ^{k-1/2} } P^{\frac{1}{2}}_{\frac{1}{2}-k}\left( {\frac {a+1}{2\sqrt {a}}}\right)\quad \left\{k\geq 2 \cap k\in \mathbb{N}\right\},$$

donde $\beta(u,v)$ es el función beta .

añadido: Para el caso $a=1$ podemos encontrar la respuesta $$ {\frac {2\,{4}^{-k}\,\sqrt {\pi }\,\Gamma \left( k+1 \right) }{ \left( k- 1 \right) \Gamma \left( k+1/2 \right) }} \quad \left\{k\geq 2 \cap k\in \mathbb{N}\right\},$$

enchufando $a=1$ en la integral utilizando este técnica .