$f$ es continua en $x_0 \Leftrightarrow$ para cada secuencia monótona $x_n$ en $\text{dom}(f)$ que converge a $x_0$, tenemos $\lim f(x_n) = f(x_0)$

Question

$f$ es continuo en $x_0 \Leftrightarrow$ para cada secuencia monótona $x_n$ en $\text{dom}(f)$ que converge a $x_0$, tenemos que $\lim f(x_n) = f(x_0)$

Nota: Ya hay una respuesta para esto, pero utiliza un método diferente al de mi prueba intentada a continuación, así que por favor no la marques como duplicada.

Prueba:

Tomemos arbitrariamente $x_n$ que converge a $x$. Entonces cada secuencia contiene una sub-secuencia monótona, así que tomemos $x_{n_k}$ como una sub-secuencia monótona de $x_n$. Dado que $x_n$ converge a $x, entonces también lo hace $x_{n_k}$. Luego, por la suposición $f(x_{n_k})$ converge a $f(x)$. Aquí es donde estoy atascado y no estoy seguro de cómo completar la idea ahora que $f(x_n)$ converge a $f(x)$.

Answer 1

Será más fácil argumentar por contradicción. Supongamos que $(f(x_n))$ no converge a $f(x_0)$. Entonces existe $\epsilon_0>0$ y una subserie $(y_k)$ de $(x_n)$ de manera que $$|f(y_k) - f(x_0) | \ge \epsilon_0$$ para todo $k$. Esta subserie tiene una subserie monótona $(z_l)$......

Answer 2

Pista

Para cada subsecuencia $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$ de $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ existe una subsecuencia $(x_{n_{k_\ell}})_{\ell \in \mathbb N}$ de $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$ con $f(x_{n_{k_\ell}}) \rightarrow f(x_0)$ (esto se puede probar de manera similar a tu idea, por lo que entra en juego aquí)

Se sigue que $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$. ¿Puedes ver por qué?

PD: Espero que esto no sea la demostración mencionada en la otra pregunta.