Órdenes de centralizadores $C_G(g)$ en un grupo de orden 60?

Question

Dado un grupo $G$ de orden 60 con 24 elementos de orden 5, 20 de orden 3 y 15 de orden 2, ¿cómo hallamos los tamaños de los centralizadores de los elementos de $G$ sin probando $G\simeq A_5$ ?

Considerando subgrupos Sylow he conseguido obtener los siguientes límites, pero no mejores:

$4\leq\big|C_G(g_2)\big|\leq12$ , $3\leq\big|C_G(g_3)\big|\leq6$ , $5\leq\big|C_G(g_5)\big|\leq10$ (donde $g_p\in G$ tiene orden $p$ para cada $p$ ).

He leído una solución que dice

Dado que todos los elementos no triviales tienen orden primo y $|G|=2^2.3.5$ , $|C_G(g)|=$ 5 si $o(g)=5$ 3 si $o(g)=3$ 4 si $o(g)=2$ (todos los grupos de orden 4 son abelianos).

... ¡pero no veo cómo esto sigue!

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes $24$ elementos de orden $5$ , $20$ de orden $3$ y $15$ de orden $2$ así que incluyendo la identidad, eso es todo. $60$ elementos del grupo: todo elemento no identitario tiene orden primo.

Sea $g$ tener orden $p$ . Entonces seguramente $\langle g \rangle \leqslant C_G(g)$ . Si $|C_G(g)|$ tiene orden compuesto, entonces existe un elemento $h\in C_G(g)$ de orden $q$ para algunos $q\not= p$ . $g$ y $h$ conmutar, por lo que $o(gh)=pq$ pero contradice que cada elemento de $G$ tiene orden primo. Concluimos que cualquier elemento $g$ de orden $3$ o $5$ es autocentralizadora, es decir, $\langle g \rangle = C_G(g)$ - y que si un elemento $g$ tiene orden $2$ , $|C_G(g)|=2$ o $4$ .

En este último caso, dejemos que $g$ tener orden $2$ y observe que $\langle g \rangle$ debe estar contenida en algún a Sylow $2$ -subgrupo $H$ de $G$ . $|H_2|=4$ por lo que $\mathbb{Z}_4$ o $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2$ . Sabemos que $H_2=\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2$ desde $G$ no tiene elementos de orden cuatro, pero el grupo es abeliano en cualquier caso, éstos son abelianos, por lo que en cualquier caso $g$ está centralizada por todos $H_2$ . Así $|C_G(g)|=4$ .

A la vista de la demostración anterior, podemos hacer la siguiente generalización.

Proposición. Si $G$ es un grupo finito con subgrupos Sylow abelianos en los que cada elemento no trivial tiene orden de potencia primo, entonces para cualquier $g\in G$ el orden de $C_G(g)$ es la mayor potencia de $o(g)$ dividiendo $|G|$ .