Describir todas las soluciones integrales de la ecuación $x^2 + y^2 = 2z^2$ tal que $x,y,z > 0$ gcd $(x,y,z) = 1$ y $x > y$ .

Question

Como indica el título, la pregunta me pide que encuentre todas las soluciones integrales de la ecuación con las restricciones especificadas. Tengo una idea de por dónde empezar gracias a un problema algo similar que tengo en mis apuntes, pero me cuesta adaptarlo a esta nueva ecuación y saber dónde tengo que cambiar mi proceso. Mi profesor me ha dado la pista: "Utiliza el círculo $^2 + ^2 = 2$ y las líneas que pasan por el punto $(1,1)$ ." Esto es lo que tengo hasta ahora:

$x^2 + y^2 = 2z^2$

$\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 2$

Sea $X = \frac{x}{z}$ y $Y = \frac{y}{z}$

$X^2 + Y^2 = 2$

Así que ahora tenemos un círculo con un origen en $(0,0)$ y radio de $\sqrt{2}$ . Luego tracé el círculo y la línea que pasa por $(1,1)$ .

Así que la pendiente $\lambda$ de esta línea sería: $\lambda = \frac{Y-1}{X-1}$ . Esta es la parte en la que me pierdo, en clase nos salimos por la tangente en relación a estos problemas y me está costando saber exactamente cómo proceder. Tengo una idea de cómo será la respuesta final. La forma que encontramos para $x^2 + y^2 = z^2$ era: $(x,y,z) = (a^2 - b^2, 2ab, a^2 + b^2)$ Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Empezar con un triple pitagórico primitivo $x^2 + y^2 = z^2.$ hay una receta para estos. Entonces $$(x+y)^2 + |x-y|^2 = 2 z^2$$ Y esos son todos

Answer 2

Ya que has calculado la pendiente, calcula la ecuación de la $x$ -coordenadas de las dos intersecciones de la recta y la circunferencia, entonces como conoces la coordenada de una, utiliza el teorema de Viete.

Answer 3

El truco consiste en crear tres nuevas variables $$a = x+y\\ b = x-y\\ c = 2z$$ Entonces $x^2+y^2 = 2z^2 \implies a^2+b^2 = c^2$

Ignorando temporalmente la condición de que $\gcd(x,y,z) = 1$ ahora podemos enumerar todas las soluciones de $a^2+b^2 = c^2$ como $$a = k(n^2 - m^2)\\ b = 2kmn\\ c = k(n^2 + m^2)$$ con $m \neq n \pmod 2$ y $\gcd(m,n) = 1$ .

Para volver a $x,y,z$ tenemos $$x = \frac{b+a}2 = k\frac{(n^2 + 2mn - m^2)}2 \\ y = \frac{b-a}2 = k\frac{(m^2 + 2mn - n^2)}2 \\ z = \frac c2 = k\frac{(n^2 + m^2)}2$$ Sin embargo, dado que $m$ y $n$ son de paridad opuesta, $(n^2 + m^2)$ es impar, por lo que para que $z$ sea un número entero, $k$ debe ser par: $k = 2p$ .

Entonces la tripleta genérica es $$x = p(n^2 + 2mn - m^2) \\ y = p(m^2 + 2mn - n^2) \\ z = p(n^2 + m^2)$$ $x$ y $y$ no son coprimos a menos que $p = 1$ . Así que tenemos $$x = n^2 + 2mn - m^2 \\ y =| m^2 + 2mn - n^2| \\ z = n^2 + m^2$$ Por último, podemos preguntarnos cuándo $\gcd(x,y) = 1$ pero es más fácil preguntar cuando $(x,z) = 1$ que es equivalente para nuestros propósitos.

La diferencia $z-x = m(m-2)$ es múltiplo de $m$ y por tanto es coprimo con $z$ porque $\gcd(n^2,m) = 1)$ Por tanto, todos esos trillizos son coprimos, y esa es nuestra respuesta:

$$x = n^2 + 2mn - m^2 \\ y =| m^2 + 2mn - n^2| \\ z = n^2 + m^2$$ con $n,m\in \Bbb N \wedge n > m \wedge m \neq n \pmod 2 \wedge \gcd(m,n) = 1$ .