¿Cuáles son, por ejemplo, los siguientes?
- $\sum_{i=5}^4i$
- $\prod_{i=5}^4i$
¿Existe una convención estándar sobre cómo deben ser? Yo creo que $\sum_{i=5}^4i=0$ y $\prod_{i=5}^4i=1$ . ¿Es correcto?
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La notación $\sum_{i=a}^{b}f_i$ significa $\sum_i f_i[a\leq i\leq b]$ donde $[\cdot]$ es el Símbolo Iverson/corchete que es uno cuando la proposición en su interior es verdadera y cero en caso contrario.
Esta interpretación permitiría definir el símbolo de suma incluso cuando $b<a$ . En ese caso las desigualdades dentro del símbolo de Iverson nunca son verdaderas. Por lo tanto, todos los términos de la suma son cero.
Por otro lado, esto es sólo una convención. En algunos contextos es útil considerar otras opciones. Por ejemplo, definir $\sum_{i=5}^{4}f_i=-\sum_{i=4}^{5}f_i$ cuando la suma se ve como una integral $\int_{5}^{4}f_id\mu(i)=-\int_{4}^{5}f_id\mu(i)=-\sum_{i=4}^{5}f_i$ en la medida de recuento de los números enteros.
La notación $$\sum_{i=j}^k a_i$$ es en realidad la abreviatura de $$\sum_{i\in S}a_i $$ donde $$ S = \{i\in\mathbb Z: j\leqslant i\leqslant k\}. $$ Así, por ejemplo $j=5$ , $k=4$ tenemos $$\sum_{i=5}^4 a_i = \sum_{i\in\varnothing} a_i = 0, $$ ya que generalmente se acepta que la suma vacía $0$ por convención. El producto sería $$\prod_{i=5}^4 a_i = \prod_{i\in\varnothing} a_i = 1, $$ ya que el producto vacío es $1$ por convención.
