¿Cuál es la matriz de covarianza del producto de un escalar aleatorio y un vector aleatorio en general (si existe) y en todos los casos especiales, en términos de la varianza del escalar y la matriz de covarianza del vector?
Respuesta
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Etiquetar el escalar $v_1$ y el vector $v = (v_2, \dots, v_{n+1})$ (suponiendo que el vector tenga $n$ componentes). Entonces tu matriz de covarianza entre el escalar y el vector es simplemente la matriz de covarianza de $n+1$ escalares. Tendría el siguiente aspecto : $$ \begin{bmatrix} \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_1,v_1] & \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_1,v_2] & \dots & \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_1,v_{n+1}] \\ \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_2,v_1] & \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_2,v_2] & \dots & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_{n+1},v_1] & & & \mathbb{C}\mathrm{ov}[v_{n+1},v_{n+1}] \end{bmatrix} $$ En $n \times n$ submatriz en la esquina inferior derecha sería la matriz de covarianza de $v$ y $\mathrm{\mathbb Cov}[v_1,v_1]$ estaría en la esquina superior izquierda. La única información nueva que tiene esta matriz son las relaciones entre $v_1$ y los componentes de $v$ .
Espero que le sirva de ayuda,
