Formulación de la potencia construible en términos de operaciones de Gödel; Pasando por la metateoría

Question

Estoy estudiando con la Teoría de Conjuntos de Jech. Él dice esto:

Para todo conjunto transitivo $M$ , $$\operatorname{def}(M) = \operatorname{cl}(M \cup \{M\}) \cap \mathcal{P}(M)$$ donde $\operatorname{cl}$ denota el cierre bajo las operaciones de Gödel.

Prueba $\operatorname{def}(M) \supset \operatorname{cl}(M \cup \{M\}) \cap \mathcal{P}(M)$ así: Que $X \subset M$ y $G$ sea una(s) operación(es) de Gödel (compuesta(s)) tal que $X = G(M, a_1, a_2, \ldots, a_n)$ donde $a_1, \ldots, a_n \in M$ . Hemos demostrado que si $G$ es una operación de Gödel hay un $\Delta_0$ fórmula $\phi$ (!) tal que para todo $M, a_1, \ldots, a_n$ , $G(M, a_1, \ldots, a_n) = \{x \mid \phi(M, x, a_1, \ldots, a_n)\}$ . Así que alterando todos los cuantificadores acotados $(\exists v_m \in M)$ a $(\exists v_m)$ en $\phi$ y denotando el resultado como $\psi$ , $X = \{x \in M \mid M \vDash \psi(x, a_1, \ldots, a_n)\}$ así que $X \in \operatorname{def}(M)$ .

Estos son mis pensamientos sobre la prueba: Dejemos que $\mathsf{LST}$ sea el lenguaje de la teoría de conjuntos, y $\mathcal{L}$ sea la contrapartida formal de $\mathsf{LST}$ en $\mathsf{ZF}$ . En el punto (!), si $\phi$ es un $\mathsf{LST}$ no podemos hacer algo como "for $G$ existe $\phi$ s.t. ..." porque estamos demostrando en $\mathsf{ZF}$ . Sin embargo, la relación de satisfacción para $\Delta_0$ fórmulas $\vDash_0$ puede formalizarse en $\mathsf{ZF}$ es decir, existe un $\mathsf{LST}$ fórmula $\vDash_0$ tal que para todo $\Delta_0$ $\mathsf{LST}$ fórmula $\phi$ si $\phi'$ es la contrapartida formal de $\phi$ en $\mathcal{L}$ , $(\forall\overline{x})[\phi(\overline{x}) \leftrightarrow \vDash_0 \phi'(\overline{x})]$ . En efecto, se trata de un metateorema. Así que (!) puede y debe ser implementado por la contraparte formal. ¿Son correctos mis pensamientos?

Answer 1

Lo que has esbozado funciona. Sin embargo, vale la pena señalar que podemos evitar las operaciones de Godel por completo: la relación de satisfacción completa para estructuras del tamaño de un conjunto pueden tratarse directamente en ZFC.

En mi opinión, el enfoque más intuitivo es a través de las funciones Skolem. A grandes rasgos, $\mathcal{A}\models\varphi$ si existe una familia de funciones de potencias cartesianas de $\mathcal{A}$ a $\mathcal{A}$ que sirven como familia de funciones Skolem para $\varphi$ en $\mathcal{A}$ .

Si quiere evitar las funciones Skolem, también puede hablar de árboles sintácticos. A grandes rasgos, asignamos a una frase $\varphi$ en una estructura $\mathcal{A}$ un árbol $T$ cuyos nodos son subfórmulas de $\varphi$ con variables libres sustituidas por elementos de $\mathcal{A}$ (por ejemplo, la raíz es $\psi$ un nodo $\forall x(\psi(x))$ tendrán como sucesoras cada frase $\psi(a)$ para $a\in\mathcal{A}$ etc.). Nosotros decimos $\mathcal{A}\models\varphi$ si existe un subárbol $S\subseteq T$ que satisfacen algunas propiedades básicas (por ejemplo $\varphi\in S$ si $\theta\vee\psi\in S$ entonces $\theta\in S$ o $\psi\in S$ si $\forall x\psi(x)$ está en $S$ entonces para cada $a$ la sentencia $\varphi(a)$ está en $S$ etc.).

Cada una de estas definiciones (y varias otras) funciona adecuadamente en ZFC. El punto clave aquí es que asumimos que $\mathcal{A}$ es un conjunto, por lo que la colección de funciones sobre $\mathcal{A}$ o árboles adecuados es, de hecho, algo de lo que podemos hablar. Si intentamos aplicar esta idea a $V$ nos encontramos con la necesidad de cuantificar sobre funciones de $V$ a $V$ (u objetos moralmente equivalentes), cosa que no podemos hacer. Por eso esto no rompe el teorema de indefinibilidad de Tarski.

Answer 2

Añadiré lo siguiente:

La forma en que Jech enuncia el Teorema de la Forma Normal de Gödel, parece un esquema en la metateoría, ya que las "operaciones" son clases, y parece estar cuantificando sobre clases.

También hay una forma de evitarlo, en el sentido de que podemos escribir una única fórmula $\Phi(x,y)$ en el LST que dice " $y$ se obtiene a partir de $x$ mediante operaciones de Gödel". En efecto, dejemos que $\Psi_i(u,v)$ para $i<10$ sean fórmulas que definen cada una de las operaciones básicas de Gödel. Entonces $\Phi(x,y)$ es la fórmula $$ \exists n\in\omega \exists z \left[\text{seq}(z,n) \wedge x=z(0) \wedge y=z(n)\wedge \forall j<n \bigvee_{i<10} \Psi_i (z(i),z(i+1))\right] $$ donde $\text{seq}(u,v)$ es una fórmula en LST que dice que $u$ es una función con dominio $v\cup \{v\}$ .

La clave aquí es que la cláusula "existe" del (meta)teorema se refiere a algunas fórmulas fijas, así que puedes seguir adelante y enumerarlas. Por supuesto, esto alarga el enunciado.

Además, cuantificar sobre fórmulas no es en sí mismo un problema, ya que las fórmulas LST se formalizan fácilmente como objetos en $HF$ y se puede escribir una fórmula LST muy absoluta $Fml(v)$ que dice " $v$ es una fórmula (formal) en $\mathcal{L}$ " . Las cosas se complican cuando quieres decir " $\phi$ es verdadero" en una clase como propiedad del objeto formal $\phi$ . Para estructuras de tamaño fijo, esto puede evitarse, como menciona Noah Schweber.

Encuentro que Devlin Constructibilidad ser muy claro en todos estos LST vs $\mathcal{L}$ importa (de hecho, esa es la notación exacta que utiliza, así que puede que ya le hayas echado un vistazo). Hay algunos problemas bien conocidos en el primer capítulo, que se solucionan en un artículo de Mathias, y tienen que ver con el fragmento débil exacto de $ZFC$ que está usando.