¿Cómo puedo encontrar $\underset{x\rightarrow\infty }{\lim}A_{x}=x-\sqrt{x^{2}-4x}$

Question

$$\underset{x\rightarrow\infty }{\lim}A_{x}=x-\sqrt{x^{2}-4x}$$

Sé que la respuesta es $2$ pero no puedo manipular la ecuación para sacarlo.

Answer 1

$$\underset{x\rightarrow\infty }{\lim}x-\sqrt{x^{2}-4x}\cdot \color{blue}{\frac{x+\sqrt{x^2-4x}}{x+\sqrt{x^2-4x}}}$$

$$=\lim_{x\to \infty} \frac {4x}{x+\sqrt{x^2-4x}}$$

Proporcionado por $x$

$$=\lim_{x\to \infty} \frac {4}{1+\underbrace{\sqrt{1-4/x}}_{\to 1}}=\frac 4 2=\color{red}2$$

Answer 2

Sigue la pista de Inazuma y luego reduce dividiendo por x a ver qué pasa. Por supuesto, tienes que suponer que x no es cero.

Answer 3

Sea $x>4,$ entonces $x-\sqrt {x^2-4x}= x-x\sqrt {1-4/x}= x-x( 1-2/x+o(1/x))=2+o(1)$

Utilizamos $\sqrt {1+u}= 1+1/2u+o(u)$ .

Answer 4

En $x^2-4x=(x-2)^2-2^2,$ deje $x-2=\csc2t$

En $x\to\infty,2t\to0^+$

$$\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2-4x})=2+\lim_{t\to0^+}(\csc2t-\cot2t)=2+\lim_{t\to0^+}\dfrac{1-\cos2t}{\sin2t}$$

$$\lim_{t\to0^+}\dfrac{1-\cos2t}{\sin2t}=\lim_{t\to0^+}\dfrac{2\sin^2t}{2\sin t\cos t}=\lim_{t\to0^+}\tan t=?$$ como $\sin t\ne0$ como $t\ne0$ como $t\to0$