Encuentre $(m,n)$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos.

Question

Encontrar todos los números enteros positivos $m$ y $n$ tal que: $$\frac 1m + \frac 1n - \frac 1{mn}=\frac 25$$ En realidad, ya he resuelto este problema utilizando la desigualdad. Las soluciones que he encontrado son: $$\{(3,10),\;(4,5),\;(10,3),\;(5,4)\}$$ Pero quiero resolverlo de otra manera.

He probado esto: $$\frac {m+n-1}{mn}=\frac 25\implies m+n-1=2k \;\;\&\;\; mn=5k$$ donde $k$ es un número entero positivo. Entonces $m+n=2k+1$ y $mn=5k$ . Me pregunto si puedo hacer algo desde aquí. He intentado $x^2 -(2k+1) + 5k=0$ donde las soluciones de las ecuaciones son $m,n$ donde $m!=n$ porque $m+n$ es impar. Pero no parece que me lleve a la solución.

Answer 1

Probablemente sea una buena idea multiplicar por ambos lados mi $10mn$ . Esto te $$10n+10m-10=4mn$$

Ahora sólo hay números enteros. Además, el número delante de $mn$ es un cuadrado. Esto se puede reescribir como $4mn-10n-10m+25=15$ y, por tanto $(2m-5)(2n-5)=15$ . Esto significa que $2m-5$ un divisor es de 15. Esto le da que $m \in \{3,4,5,10\}$ y se obtienen los valores de $n$ formar allí.

Este es aproximadamente el mismo enfoque que peter.petrov, sin embargo, multiplicando por $10mn$ nos da sólo números enteros para trabajar, lo que significa que podemos utilizar las propiedades de divisibilidad.

Answer 2

El LHS es igual a: $1-(1-\frac{1}{m}) \cdot (1-\frac{1}{n})$ tal vez eso pueda ayudarte.

Answer 3

Desde $$ \left(1-\frac1m\right)\left(1-\frac1n\right)=\frac35 $$ obtenemos que $m,n\ge3$ ; si $m=2$ o $n=2$ el lado izquierdo es menor o igual que $\frac12$ .

Además, $$ n=\frac{5m-5}{2m-5} $$ $m=3\implies n=10$
$m=4\implies n=5$
$m=5\implies n=4$
$m=10\implies n=3$

Para $m\gt10$ tenemos $n\lt3$ Estas son todas las soluciones.