Transformación de variables aleatorias con la función delta de Dirac

Question

Considere $f_X(x) = 1/2+x$ donde $0 <x\leq 1$ . Queremos encontrar el pdf de $Y=X^{-1}$ utilizando la siguiente transformación.

$$f_Y(y) = \int_0^1 f_X(x) \delta (y - g(x)) dx$$

Dónde $u =g(X) = Y$ .

A mi entender, podemos representar $x$ como $x=g^{-1}(g(x))$ y entonces podemos escribir $dx$ como $dx = \frac{d(g(x))}{dx}dx \implies dx=-x^2du$ . Desde $x \in (0,1]$ podemos concluir que $y \in [1,\infty)$ . Así que podemos reescribir nuestra expresión como:

$$f_Y(y) = \int_1^\infty f_X(g^{-1}(g(x))) \delta (y - g(x)) (-\frac{1}{y^2})du$$ Sin embargo, después de este punto no sé muy bien cómo continuar. Sí puedo factorizar un signo negativo, pero simplemente no veo cuál es mi siguiente paso. ¿alguna idea?

Answer 1

¿Conoce la propiedad de filtrado/desplazamiento de la función Delta de Dirac ? La propiedad de filtrado dice que $\forall\epsilon,\gamma>0$ el valor de $$\int_{a-\epsilon}^{a+\gamma} h(x)\delta(a-x)dx=\lim_{x\to a}h(a)$$ Toma $g(x)=1/x$ como $m$ entonces tienes $$f_Y(y)=\int_1^\infty\frac1{m^2}f_X(1/m)\delta(y-m)~dm$$

Para $y<1,$ $\delta(y-m)=0$ así que $f_Y(y)=0,y<1$ . Para $y>1$ tenemos $1/y\in(0,1)$ y así $$f_Y(y)=\lim_{m\to y}\frac{f_X(1/m)}{m^2}=\lim_{1/m=k\to1/y}k^2f_X(k)=\frac{f_X(1/y)}{y^2}$$ desde $k^2f_X(k)$ es continua en $(0,1)$ . Finalmente se obtiene $$f_Y(y)=\begin{cases}0,&y\le1\\\frac1{y^2}\left(\frac12+\frac1y\right),&y>1\end{cases}$$

Answer 2

\begin{align} &\int_{0}^{1}\operatorname{f}_{X}\left(x\right) \,\delta\left(y - {1 \over x}\right)\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\operatorname{f}_{X}\left(x\right) \,{\delta\left(x - 1/y\right) \over \left\vert\,{ 1/x^{2}\,}\right\vert}\mathrm{d}x \\[5mm] = &\ \left.\vphantom{\Large A} \left[0 < {1 \over y} < 1\right] x^{2}\operatorname{f}_{X}\left(x\right) \,\right\vert_{\, x\ =\ 1/y}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\, \bbox[10px,border:1px groove navy]{\left[y > 1\right]\,{\operatorname{f}_{X}\left(\,{1/y}\,\right) \over y^{2}}} \\ & \end{align}