Como espacios de Hilbert, $L^2(\mathbb{R}^2)$ y $L^2(\mathbb{R})$ son isomorfas. Por supuesto, el isomorfismo no es único. Me pregunto si hay algún isomorfismo explícito particularmente bonito. Por ejemplo, me pregunto si existe una transformada integral $$ f(x,y) \mapsto (K f)(z)=\int dx\, dy K(x,y,z) f(x,y) $$ con un bonito núcleo explícito $K(x,y,z)$ que asigna $L^2(\mathbb{R}^2)$ isométricamente sobre $L^2(\mathbb{R})$ ? Agradeceríamos cualquier ejemplo.
Respuesta
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El siguiente resultado se obtuvo mediante una construcción "explícita" en [1]. Está relacionado con el comentario de Terry Tao. Una modificación del argumento permite sustituir el cubo por el espacio entero.
Teorema. Si $k\geq n$ y $1\leq p\leq \infty$ entonces existe un isomorfismo isométrico $\Phi: L^p([0,1]^k)\to L^p([0,1]^n)$ tal que $\Phi(u)$ es continua en $(0,1)^n$ para cada $u\in L^p([0,1]^k)$ que es continua en $(0,1)^k$ .
No sé si el resultado es cierto para $k<n$ .
Durante las correcciones editoriales, uno de los resultados del artículo (el Teorema de las medidas homeomórficas) se ha enunciado incorrectamente; la fe de erratas está disponible en https://sites.google.com/view/piotr-hajasz/research/publications?authuser=0
[1] P. Hajasz, P. Strzelecki Cómo medir el volumen con un hilo. Amer. Math. Monthly 112 (2005), nº 2, 176-179.
