Integración de $\int\limits_{0}^{\infty} e^{-x^3}dx$

Question

He visto formas de evaluar esta integral utilizando las funciones gamma incompleta superior e inferior. Quiero saber si hay formas de calcular esta integral usando cambio de variables o trucos similares a la evaluación de $$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx$$ utilizando integrales dobles. Gracias de antemano

Answer 1

No hay mejor forma para esta integral que

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^3}\ dx = \Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$

La forma de la función gamma se obtiene fácilmente por sustitución. Por lo que se sabe, creo que no hay una forma más sencilla de escribir los valores de la función gamma con argumentos de tercer entero como la que hay para los medios enteros, dando las bonitas formas que implican la raíz cuadrada de $\pi$ en la que estás pensando.

De forma más general, tenemos la identidad

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^\alpha}\ dx = \Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$$

del mismo modo, para todos los $\alpha > 0$ .

Answer 2

Sustituyendo $y=x^3$ obtenemos $$\int _0^\infty e^{-x^3}dx=\frac13\int_0^\infty e^{-y}y^{\frac13-1}dy=\frac13\Gamma(\frac13)=\Gamma(\frac43),$$

donde $\Gamma(s)$ es el función gamma .

Answer 3

Si se aplica el cambio de variables $x=\sqrt[3]{t}$ entonces la integral es igual a $$\frac{1}{3}\Gamma(\frac{1}{3})$$

Answer 4

Como se muestra en las otras respuestas, la integral puede expresarse en términos de $\Gamma\left(\frac13\right)$ . Como no se conoce ninguna expresión de forma cerrada de esta constante, esto es un signo seguro de que no se puede encontrar un método de resolución alternativo.