Si una matriz $A\in M_n(\mathbb{Q})$ es aleatorio, entonces, a grandes rasgos, su polinomio característico es aleatorio. Entonces podemos considerar un polinomio aleatorio (no mónico) $p=\sum_{0\leq i\leq 5}a_ix^i\in \mathbb{Z}_5[x]$ .
El método más sencillo consiste en considerar un número entero positivo $n$ y elegir aleatoriamente (de forma independiente) el $(a_i)$ uniformemente en $\{-n..n\}$ . Sea $P_n$ sea la probabilidad asociada de que $p$ es irreducible y tiene $S_5$ como grupo de Galois.
EDITAR. A continuación, $\lim_{n\rightarrow +\infty}P_n=1$ . Sobre este resultado, puede leer
[1] J.P. Serre: Topics in Galois Theory.(la lectura es difícil)
[2] Igor Irvine: Grupos de Galois de polinomios genéricos.
https://arxiv.org/pdf/1511.06446.pdf
Un problema difícil es estimar la velocidad de convergencia hacia $1$ de $P_n$ en [1] y, más concretamente, en [2].
Para dar una idea, he aquí los resultados de algunas pruebas aleatorias
$P_1\approx 28$ %, $P_{10}\approx 85$ % $,P_{100}\approx 98.2$ %, $P_{1000}\approx 99.79$ %.
Por supuesto, $P_n$ depende del grado del polinomio $p$ . Cuando aumenta el grado, $P_n$ también aumenta.
