La paradoja de Zenón vuelve a causarme dolor. ¿Qué tan sólido es mi argumento en contra?

Question

Al calcular el área bajo una función entre $a$ y $b$ es decir, las barras que componen esta zona consisten en tomar la función en tal o cual punto del eje x y multiplicarla por la anchura de la barra o el diferencial $dx$ ; luego, suma todas las barras para obtener el área. Entonces, es como tomar el segmento de línea $ab$ y dividiendo cada pieza una y otra vez. Por división, los tamaños de las piezas son la mitad de lo que eran antes y hay el doble de ellas que antes; pero a medida que el número de divisiones tiende a infinito (n tiende a infinito), disminuyen a casi nada que, al sumarse de nuevo, siga siendo igual a la longitud del segmento de línea original $ab$ .

Ahora bien, la paradoja de Zenón funciona así, para recorrer una distancia finita hay que realizar infinitas tareas, a saber, recorrer la mitad del camino, recorrer la mitad del camino, recorrer la mitad del camino, etc, etc. Entonces se llega a la insensata conclusión de que el movimiento es imposible porque las infinitas tareas a realizar nunca pueden completarse. Así, si dejo caer una pelota de mi mano, se quedará ahí y sólo parecerá que golpea el suelo.

Yo contraargumento que en realidad, al menos según mis impresiones sensoriales y quizá esté loco, pero el movimiento es real y medible. Una pelota que cae al suelo, efectivamente golpea el suelo. En realidad es una cuestión de ontología de los números; el infinito y los números reales no son exactamente lo mismo porque no comparten todas sus propiedades; el primero es indefinido y cambiante mientras que el segundo es estático e inmutable. Además, este proceso matemático de división continua ocurre infinitamente rápido, a diferencia del tic-tac de un reloj. La suma de las piezas también se produce instantáneamente. En otras palabras, recorrer la mitad del camino, la mitad del camino, la mitad del camino,... sucede infinitamente rápido matemáticamente. Y como uno dividido por infinito es igual a cero, al final la pelota tiene que caer al suelo.

¿Es acertado mi contraargumento de Zenón y mi concepto de infinito y límites?

Answer 1

La paradoja de Zenón se llama paradoja precisamente porque hay un desajuste entre un argumento aparentemente lógico que concluye que el movimiento es imposible, y nuestra experiencia al tratar con la realidad, que dice que sí hay movimiento.

Para resolver la paradoja, entonces, hay que averiguar donde el argumento va mal. Decir que en tu experiencia el movimiento existe no hace nada para librarte del argumento. De hecho, en lugar de resolver la paradoja, cuando agitas los brazos o sueltas alguna pelota, te destacar ¡la paradoja!

Por último, permítanme añadir también que con su(s) argumento(s) Zenón probablemente no intentaba concluir que el movimiento no existe, sino que ofrecía su argumento como una reductio ad absurdum contra la idea de que el espacio es infinitamente divisible: Si el espacio es infinitamente divisible, entonces [inserte aquí la típica historia de Zenón] el movimiento se hace imposible. Pero como [agite ahora los brazos] hay movimiento, el espacio no puede ser infinitamente divisible.

Por tanto, ¡que puedas tirar una pelota al suelo es ahora parte integrante del argumento! Y si quieres rechazar la conclusión de que el espacio no es infinitamente divisible, tienes que demostrar cómo es posible el movimiento en un espacio así. Dejar caer pelotas no demuestra tal cosa, porque Zenón simplemente dirá: fuiste capaz de dejar caer la pelota exactamente porque el espacio (como en: el espacio real, físico del mundo en el que vivimos) no es infinitamente divisible.

Answer 2

Tu respuesta es matemáticamente errónea, pero intuitivamente no tan errónea. La clave es observar que el error en la "paradoja" es:

se deben realizar infinitas tareas [CORRECTO] ... nunca se podrán completar infinitas tareas [INCORRECTO].

Para comprender mejor cuál es exactamente el error, hay que preguntarse:

¿QUÉ es exactamente un tarea ?

Si es algo que necesita gastar tiempo/energía hacer, entonces no puedes hacer infinitas separar tareas. Sin embargo, si los requisitos de las tareas solapamiento entonces es ciertamente posible hacer infinitamente muchos de ellos en algunas situaciones como la de Zenón:

Tarea 1: Ir del punto inicial al punto final.

Tarea 2: Ir del principio al final $\frac12$ punto.

Tarea 3: Ir del principio al final $\frac13$ punto.

$\vdots$

Está claro que podemos empezar a hacer tous las tareas anteriores al mismo tiempo, y con el tiempo las completará todas. De hecho, después de cualquier cantidad de tiempo distinta de cero (después de empezar), habremos completado todas excepto finitamente muchas de ellas.

Otra posible definición de "tarea" es simplemente como algo que tienes que hacer realidad. Según esta definición, es obvio que es posible realizar infinitas tareas:

Tarea 1: Ha llegado al punto final.

Tarea 2: Ha cruzado el $\frac12$ punto.

Tarea 3: Ha cruzado el $\frac13$ punto.

$\vdots$

Si todavía no está claro por qué estas infinitas afirmaciones pueden hacerse verdaderas simultáneamente, simplemente reescríbalas:

$x \ge 1$ .

$x \ge \frac12$ .

$x \ge \frac13$ .

$\vdots$

Si fija $x = 0$ al principio, son todo falso . Si a continuación establece $x = 1$ ellos se convierten en realidad . Ha conseguido infinitas cosas ¡!

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No obstante, es importante darse cuenta de que matemáticamente se no puede hablar de dividir un segmento de línea en infinitos trozos y sumarlos todos o lo que sea. Hay no existe . En matemáticas lo que se puede hacer es considerar procesos límite. Por eso hay que definir la integral de Riemann mediante un límite, no añadiendo infinitos bits infinitesimales .

Answer 3

No creo que "Entonces, si dejo caer una pelota de mi mano, se quedará ahí y sólo parecerá que golpea el suelo" sea una extensión válida de la paradoja de Zenón.

Otra más válida podría ser: "Si dejara caer una pelota, nunca llegaría al suelo, ya que para hacerlo debe pasar por infinitos escalones, cosa que nunca podrá hacer".

En realidad, si vamos a decir que alguna distancia puede dividirse en infinitos intervalos, entonces hacerlo, sabiendo que podemos atravesar una distancia finita en un tiempo finito, es declarar de antemano que no se considerará paradójico atravesar infinitas partes.