¿Por qué las integrales convergentes a cero implican una función cero?

Question

Sea la función integrable de Lebesgue $f:\ [0,1]\mapsto \mathbb{R}$ satisfacer $ \int_0^1 x^{2n} f(x) dx =0\quad \forall n=0,1,2,... $ Demostrar que $f=0$ a.e.

Procedo como sigue: Sea $\exists\, E$ con medida distinta de cero tal que $f(x)\neg0$ para todos $x\in E$ . Sea $E_1$ y $E_2$ sean los subconjuntos de $E$ donde $f$ es positivo o, respectivamente, negativo. Entonces $\forall\,n\geq 0$ , $\int_{E_1} x^{2n}|f(x)| dx = \int_{E_2} x^{2n}|f(x)|dx$ . Por lo tanto, ahora considero función positiva. ¿Debo aproximarla mediante funciones escalonadas? Tal vez funcione, pero me parece que debería haber una solución más fácil.

Answer 1

Parece que no hay solución sin pasos. Para una aproximación por función escalonada de $f(x)$ la solución es la siguiente. Sea $f^+(x)=\frac12 [f(x)+|f(x)|]\geq0$ , $f^-(x)=\frac12 [|f(x)|-f(x)]\geq0$ y $g^+$ , $g^-$ - stepfunction $\varepsilon$ -aproximaciones de $f^+$ y $f^-$ . Sea $(a,b)$ sea el intervalo de positividad más a la derecha para $g^+$ ou $g^-$ , que para $g^+$ . Entonces $\int x^{2n} g^-\leq \int_0^a x^{2n} g^- \leq \frac{a^{2n+1}}{2n+1} \sup\limits_{0\leq x\leq 1} g^-(x)$ . Desde el otro lado, $$ \int x^{2n}g^+ \geq \int_a^b x^{2n} g^+ \geq \left( \frac{b^{2n+1}}{2n+1} - \frac{a^{2n+1}}{2n+1}\right) g^+(\frac{a+b}2). $$ Para un $n$ , $\left(\frac{b^{2n+1}}{2n+1} - \frac{a^{2n+1}}{2n+1}\right) g^+((\frac{a+b}2)$ es mayor que $\frac{a^{2n+1}}{2n+1} \sup\limits_{0\leq x\leq 1} g^-(x)$ . Así, para grandes $n$ , $\int x^{2n}g^+ \not = \int x^{2n} g^-$ no pueden ser iguales para todos $n$ y se compensan entre sí proporcionando cero $\int x^{2n} f(x) dx=0$ .

Answer 2

Desde nuestra $f$ es medible, sabemos que la integral es $\epsilon$ -cercano al de alguna función simple, por lo que podemos pasar al caso de las funciones simples. Entonces, esto es obvio - la suma contable de elementos positivos distintos de cero no puede ser cero.