Cómo demostrar que $f$ es diferenciable en $x=0.$

Question

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definirse como $f(x)$ = $x^2 , x \in \mathbb{Q} \\ 0 \ \ , x \in \mathbb{Q^c}\\ $

Cómo demostrar que $f$ es diferenciable en $x=0.$

Quiero probar este enfoque.

aquí $f'(x)=$ $2x \in \mathbb{Q} \\ 0 \in \mathbb{Q^c} $

desde $lt \\ x \to 0+$$ f(x) $ = $ lt \ x \to 0- $$f(x)= 0$

así que $f$ es diferenciable en $x=0$

Answer 1

No puedes simplemente aplicar las reglas de la derivada a menos que compruebes la diferenciabilidad. De hecho, en este caso la función sólo es continua en $x=0$ por lo que esta función sólo podría ser diferenciable en $x=0$ si es diferenciable en cualquier lugar. Comprobamos si lo es de la siguiente manera.

Deseamos encontrar $\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}$ .

Si $h\in\mathbb{Q}$ entonces obtenemos $\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h$ .

Si $h\in\mathbb{Q}^{c}$ entonces obtenemos $\frac{f(h)}{h}=0$ .

Eligiendo $|h|<\epsilon$ y mirando lo anterior tenemos que $|\frac{f(h)}{h}-0|=|\frac{f(h)}{h}|\le|h|<\epsilon$ .

Por tanto, la derivada existe y es $0$ en $x=0$ .

Answer 2

Si se trata de una tarea, por favor, especifíquelo en las etiquetas e indique lo que ha intentado. Como primera observación y tal y como Daniel Fischer y Thomas Andrews señalaron en los comentarios, tal y como está formulada tu pregunta, es falsa: continuamente diferenciable en un punto $x_0$ significa diferenciable en una vecindad de ese punto, siendo la derivada continua en esta vecindad . En tu caso, $f$ sólo es diferenciable (e incluso continua) en $0$ y en ningún otro sitio.

Suponiendo que quisieras decir "continua y diferenciable en $0$ ":

• para la continuidad, demuestre que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ (aquí, prueba $\delta = \sqrt\epsilon$ por ejemplo) tal que $|x-0| \leq \delta\Rightarrow |f(x)-f(0)| \leq \epsilon$ (una distinción de dos casos bastará).

• Para la diferenciabilidad, lo mismo ; utilizar la definición de diferenciabilidad en un punto.

PD: también puede echar un vistazo a esta pregunta .

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Edición: con respecto a tu enfoque; no eres permitido para escribir " $f'(x)=2x$ para $x\in\mathbb Q$ "; $f$ no es continua en ningún punto excepto $0$ a fortiori no es diferenciable y su derivada no está definida.