Estoy leyendo una sección del libro "A Course in Functional Analysis" de J. B. Conway, y me he encontrado con este ejercicio.
Sea $X$ y $Y$ sean espacios localmente convexos y $T: X \rightarrow Y$ sea una transformación lineal. Entonces, $T$ es continua si y sólo si para cada seminorma continua $p$ en $Y$ la seminorma $p \circ T$ es continua en $X$ .
Como referencia, utilizaremos las siguientes definiciones:
Definición (Seminorma): Sea $X$ sea un espacio vectorial. Un mapa $p : X \rightarrow \left[ 0, \infty \right)$ es una seminorma si
(1) Para todos $\alpha \in \mathbb{F}$ y para todos $x \in X$ tenemos $p \left( \alpha x \right) = \left| \alpha \right| p \left( x \right)$ .
(2) Para todos $x, y \in X$ tenemos $p \left( x + y \right) \leq p \left( x \right) + p \left( y \right)$ .
Definición (Espacio localmente convexo): Sea $X$ sea un espacio vectorial y $\mathscr{P} = \left\lbrace p_{\alpha} \right\rbrace_{\alpha \in \Delta}$ sea una familia de seminormas sobre $X$ . A continuación, definimos un conjunto $U \subseteq X$ es abierto si y sólo si para cada $x \in U$ hay $p_1, p_2, \cdots, p_n \in \mathscr{P}$ y $\epsilon_1, \epsilon_2 \cdots, \epsilon_n > 0$ tal que $\bigcap\limits_{j = 1}^{n} \left\lbrace y \in X \mid p_j \left( x - y \right) < \epsilon_j \right\rbrace \subseteq U$ .
Ahora, para demostrar el resultado anterior, una forma es fácil. Si $T$ es continua, entonces $p \circ T$ también es continua para toda seminorma continua $p$ en $Y$ . El mapa $p \circ T: X \rightarrow \left[ 0, \infty \right)$ es una seminorma porque $T$ es lineal.
Sin embargo, lo contrario parece difícil. Para demostrar que $T$ es continua, voy con imágenes inversas de conjuntos abiertos. Así, consideramos $V \subseteq Y$ un conjunto abierto y, a continuación $T^{-1} \left( V \right) \subseteq X$ . Para demostrar que $T^{-1} \left( V \right)$ es abierto, tenemos que demostrar que para cada $x \in T^{-1} \left( V \right)$ existen seminormales $p_1, p_2, \cdots, p_n$ en $X$ (a través de la cual la topología en $X$ ) y $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_n > 0$ tal que $\bigcap\limits_{j = 1}^{n} \left\lbrace y \in X \mid p_j \left( x - y \right) < \epsilon_j \right\rbrace \subseteq T^{-1} \left( V \right)$ .
Entonces, si empezamos con un punto $x \in T^{-1} \left( V \right)$ significaría que $Tx \in V$ . Por lo tanto, obtenemos los seminormales $q_1, q_2, \cdots, q_n$ en $Y$ (a través de la cual la topología en $Y$ ) y $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_n > 0$ tal que $\bigcap\limits_{j = 1}^{n} \left\lbrace y \in Y \mid q_j \left( y - Tx \right) < \epsilon_j \right\rbrace \subseteq V$ .
Sin embargo, ahora sé cómo proceder. En concreto, sé que en algún lugar tengo que utilizar la continuidad de $p \circ T$ pero desconozco dónde y cómo exactamente. Agradeceré cualquier ayuda al respecto.
