Integral de $\sqrt{1-\|x\|^2}$

Question

Intento calcular la siguiente integral:

$$\int_{Q}\sqrt{1-\|x\|^2}dx$$ donde $Q =\{x\in\mathbb{R}^n: \|x\|\leq 1\}$ y $\|x\|$ es la norma habitual de $\mathbb{R}^n.$

Para los casos $n = 2$ y $n = 3$ las coordenadas polares y esféricas son útiles, sin embargo, ¿existe una forma más sencilla de calcularlas? Estoy tratando de encontrar un buen cambio de variables, pero no he conseguido ninguna útil.

Se agradece de antemano cualquier tipo de ayuda.

Answer 1

Obsérvese que la integral puede reescribirse como

$$\int_Q \:dx \int_0^{\sqrt{1-||x||^2}}\:dy$$

introduciendo una nueva variable en $\Bbb{R}^{n+1}$ . Por lo tanto, la integral es igual a

$$\frac{\pi^{\frac{n+1}{2}}}{2\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}$$

o la mitad del volumen de la unidad $(n+1)$ -bola

Answer 2

Sólo tiene que utilizar $n$ -coordenadas esféricas. Se tiene $dV = r^{n-1}dr\,d\sigma$ donde $d\sigma$ es el "elemento de superficie" de la esfera unitaria en $\Bbb R^n$ . Dado que la función sólo depende de $r$ , vas a conseguir $$\int_0^1 r^{n-1}\sqrt{1-r^2}\,dr$$ veces la superficie de la esfera unitaria en $\Bbb R^n$ . (El volumen de la bola unitaria es un cálculo inductivo estándar, y luego se obtiene la superficie de la esfera diferenciando el volumen $V(r)=r^n V(1)$ de la bola de radio $r$ .)

Answer 3

Si se descompone el dominio en rodajas esféricas elementales, la integral es la suma de $\sqrt{1-r^2}$ veces el volumen de una rebanada.

$$I=\int_0^1\sqrt{1-r^2}dV=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac n2+1\right)}\int_0^1\sqrt{1-r^2}nr^{n-1}dr \\=\frac{n\pi^{n/2}}{2\Gamma\left(\dfrac n2+1\right)}\int_0^1(1-t)^{1/2}t^{n/2-1}dt \\=\frac{n\pi^{n/2}}{2\Gamma\left(\dfrac n2+1\right)}\frac{\Gamma\left(\dfrac 32\right)\Gamma\left(\dfrac n2\right)}{\Gamma\left(\dfrac{n+3}2\right)} \\=\frac{n\pi^{(n+1)/2}}{4\left(\dfrac n2+1\right)\Gamma\left(\dfrac{n+3}2\right)}.$$